4.15. Encontre os extremos da função z x xy y= − +8 33 3 no quadrado Q: [0,1]x[0,1].

Para encontrar os extremos da função z(x,y) = -x^4 - 15x^2y^2 + 8xy^3 + 3y^4 no quadrado Q: [0,1]x[0,1], podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, calculamos os gradientes da função e da restrição: grad(z) = (-4x^3 + 8y^3, -30x^2y + 12xy^2 + 12y^3) grad(g) = (1, 1) Em seguida, resolvemos o sistema de equações: -4x^3 + 8y^3 = λ -30x^2y + 12xy^2 + 12y^3 = λ x + y = 1 A partir daí, podemos encontrar os valores de x e y que satisfazem o sistema de equações e, em seguida, calcular o valor de z: x = 0.5 y = 0.5 z = -7.4375 Portanto, o ponto crítico é (0.5, 0.5, -7.4375). Para verificar se esse ponto é um máximo ou um mínimo, podemos calcular a matriz hessiana da função z: H(z) = [ -12x^2 24xy ] [ 24xy -30x^2 + 24y^2 ] Avaliando a matriz hessiana no ponto crítico, temos: H(-0.5, 0.5) = [ -3 6 ] [ 6 -3 ] Como a matriz hessiana é negativa definida, concluímos que o ponto crítico é um máximo global da função no quadrado Q: [0,1]x[0,1]. Portanto, os extremos da função são: Máximo global: z = -7.4375 em (0.5, 0.5)