Utilize o teorema do Valor Intermediário para provar que a equação sen x = x2 − 4 admite duas ráızes reais e distintas. Provar que a equação ...

Para provar que a equação sen x = x² - 4 admite duas raízes reais e distintas, podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário. Primeiramente, note que a função f(x) = sen x - x² + 4 é contínua em toda a sua domínio, que é o conjunto dos números reais. Além disso, temos que f(0) = 4 > 0 e f(π/2) = sen(π/2) - (π/2)² + 4 < 0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que, como f(x) é contínua em [0, π/2] e assume valores positivos e negativos nesse intervalo, existe pelo menos um número c em (0, π/2) tal que f(c) = 0. Isso significa que a equação sen x = x² - 4 tem pelo menos uma raiz real no intervalo (0, π/2). Analogamente, podemos verificar que f(-π/2) = sen(-π/2) - (-π/2)² + 4 > 0 e f(-1) = sen(-1) - (-1)² + 4 < 0. Novamente, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um número d em (-π/2, -1) tal que f(d) = 0. Portanto, a equação sen x = x² - 4 tem pelo menos uma raiz real no intervalo (-π/2, -1). Como as raízes estão em intervalos diferentes, elas são distintas. Portanto, a equação sen x = x² - 4 admite duas raízes reais e distintas.