Utilize o teorema do Valor Intermediário para provar que a função f(x) = x3 + 1 2 x2 − 17 4 x + 15 8 admite três ráızes reais e distintas.

Para provar que a função f(x) = x³ + (1/2)x² - (17/4)x + (15/8) admite três raízes reais e distintas, podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário. Primeiramente, vamos encontrar os valores de f(x) para x tendendo a infinito negativo e positivo. Quando x tende a infinito negativo, temos que f(x) tende a -∞. Já quando x tende a infinito positivo, temos que f(x) tende a +∞. Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde a derivada é igual a zero: f'(x) = 3x² + x - (17/4) Igualando a derivada a zero, temos: 3x² + x - (17/4) = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos duas raízes reais e distintas: x = -4/3 e x = 1/3 Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos e pelos limites tendendo a infinito. Podemos fazer isso utilizando a tabela de sinais: Intervalo | -∞ | -4/3 | 1/3 | +∞ ---------|----|------|-----|---- f'(x) | - | + | - | + f(x) | ↓ | ↓ | ↑ | ↑ Analisando a tabela, podemos concluir que a função f(x) é decrescente no intervalo (-∞, -4/3), crescente no intervalo (-4/3, 1/3) e novamente decrescente no intervalo (1/3, +∞). Além disso, como f(-4/3) é positivo e f(1/3) é negativo, pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que a função f(x) possui uma raiz real e distintas no intervalo (-∞, -4/3) e outra no intervalo (1/3, +∞). Portanto, a função f(x) = x³ + (1/2)x² - (17/4)x + (15/8) admite três raízes reais e distintas.