determine as equações do plano osculador da curva a(t)=(2cost,2sent,4t) no ponto P (2,0,2pi)

Para determinar as equações do plano osculador da curva a(t) = (2cos(t), 2sen(t), 4t) no ponto P (2, 0, 2π), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontre a primeira derivada da curva a(t) para obter o vetor tangente: a'(t) = (-2sen(t), 2cos(t), 4) 2. Encontre a segunda derivada da curva a(t) para obter o vetor normal: a''(t) = (-2cos(t), -2sen(t), 0) 3. Calcule o vetor normalizado do vetor normal: N = a''(t) / ||a''(t)|| = (-cos(t), -sen(t), 0) 4. Encontre o vetor posição do ponto P na curva a(t): r = (2cos(2π), 2sen(2π), 4(2π)) = (2, 0, 8π) 5. Calcule o produto escalar entre o vetor normalizado N e o vetor posição r: N · r = -2cos(2π) + 0 + 0 = -2 6. Use a equação do plano para encontrar as equações do plano osculador: - cos(t)(x - 2) - sen(t)y + 2z - 2 = 0 Portanto, as equações do plano osculador da curva a(t) no ponto P (2, 0, 2π) são - cos(t)(x - 2) - sen(t)y + 2z - 2 = 0.