Questão 2. Use o teorema do confronto para determinar os limites: a) lim x→0 f(x), onde f é uma função com a seguinte propriedade: 1− cos2(x) ≤ f(...

a) Para determinar o limite de f(x) quando x se aproxima de 0, podemos usar o teorema do confronto. Sabemos que 1 - cos²(x) ≤ f(x) ≤ x² para todo x no intervalo aberto (-1/2π, 1/2π). Podemos calcular os limites das funções 1 - cos²(x) e x² quando x se aproxima de 0 e compará-los com o limite de f(x). lim x→0 (1 - cos²(x)) = lim x→0 (sen²(x)) / (1 + cos(x)) = 0 / 2 = 0 lim x→0 (x²) = 0² = 0 Como 0 ≤ 1 - cos²(x) ≤ f(x) ≤ x² para todo x no intervalo aberto (-1/2π, 1/2π), pelo teorema do confronto, temos que: lim x→0 f(x) = 0. b) Para determinar o limite de ((x - 1)² sen(1/3√(x - 1))) quando x se aproxima de 1, podemos substituir x por 1 na expressão e calcular o limite: lim x→1 ((x - 1)² sen(1/3√(x - 1))) = lim t→0 (t² sen(1/3t)), onde t = √(x - 1). Podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular esse limite: lim t→0 (t² sen(1/3t)) = lim t→0 (2t/3 cos(1/3t) - (2/9) sen(1/3t)) = 0. Portanto, o limite de ((x - 1)² sen(1/3√(x - 1))) quando x se aproxima de 1 é 0. c) Para determinar o limite de g(x) quando x se aproxima de 4, podemos usar o teorema do confronto novamente. Sabemos que |g(x) + 5| ≤ 3(4 - x)² para todo x no intervalo [3, 5]. Podemos calcular os limites das funções |g(x) + 5| e 3(4 - x)² quando x se aproxima de 4 e compará-los com o limite de g(x). lim x→4 |g(x) + 5| = |g(4) + 5| = 0 lim x→4 3(4 - x)² = 3(0)² = 0 Como 0 ≤ |g(x) + 5| ≤ 3(4 - x)² para todo x no intervalo [3, 5], pelo teorema do confronto, temos que: lim x→4 g(x) = 0 - 5 = -5. Portanto, o limite de g(x) quando x se aproxima de 4 é -5.