Exercício 8 Um homem chega em casa e não se lembra qual chave abre a porta. Seleciona chaves, uma de cada vez, ao acaso e sem reposição de um molho...

Esse é um problema clássico de probabilidade. A probabilidade de que o homem encontre a chave correta na primeira tentativa é 1/n, pois há n chaves e ele escolhe apenas uma. Se ele não encontrar a chave correta na primeira tentativa, ele terá n-1 chaves para escolher na segunda tentativa, e a probabilidade de que ele encontre a chave correta na segunda tentativa é (n-1)/n. Continuando dessa forma, a probabilidade de que ele encontre a chave correta na k-ésima tentativa é (n-k+1)/n. Para calcular a probabilidade de que ele encontre a chave correta em k ou menos tentativas, precisamos somar as probabilidades de que ele encontre a chave correta na primeira tentativa, na segunda tentativa, na terceira tentativa, e assim por diante, até a k-ésima tentativa. Portanto, a probabilidade de que ele encontre a chave correta em k ou menos tentativas é: P(k) = 1/n + (n-1)/n + (n-2)/n + ... + (n-k+1)/n Essa é uma soma de uma progressão aritmética, e pode ser simplificada para: P(k) = k/n Portanto, a probabilidade de que o número de seleções até que ele consiga achar a chave correta seja menor ou igual a k é k/n, onde k = 1, 2, ..., n.