(Questão 1)[1.0] Calcule ∫ ∫ ∫ B √ x2 + y2 − z dxdydz onde B é dado por 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2 + y2.

Para calcular a integral tripla dada, podemos utilizar coordenadas cilíndricas. Primeiro, vamos escrever as desigualdades dadas em termos de coordenadas cilíndricas: 0 ≤ y ≤ x ⇒ 0 ≤ θ ≤ π/4 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ⇒ 0 ≤ z ≤ ρ2 Agora, vamos escrever a função a ser integrada em termos de coordenadas cilíndricas: √ x2 + y2 − z = √ ρ2 cos2 θ + ρ2 sen2 θ − ρ2 = ρ sen θ Assim, a integral tripla pode ser escrita como: ∫∫∫B √ x2 + y2 − z dxdydz = ∫0^1 ∫0^π/4 ∫0^ρ ρ sen θ dz dθ dρ Integrando em relação a z, temos: ∫0^ρ ρ sen θ dz = ρ2 sen θ / 2 Substituindo na integral tripla, temos: ∫0^1 ∫0^π/4 ∫0^ρ ρ sen θ dz dθ dρ = ∫0^1 ∫0^π/4 ρ2 sen θ / 2 dθ dρ Integrando em relação a θ, temos: ∫0^π/4 ρ2 sen θ / 2 dθ = ρ2 / 4 Substituindo na integral tripla, temos: ∫0^1 ∫0^π/4 ∫0^ρ ρ sen θ dz dθ dρ = ∫0^1 ρ2 / 4 dρ = 1 / 12 Portanto, o valor da integral tripla é 1/12.