Calcule ∫ ∫ ∫E zdV , onde E esta contido entre as esferas x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4 com x e y positivos.

Para calcular essa integral tripla, podemos utilizar coordenadas esféricas. Primeiro, vamos escrever as equações das esferas em coordenadas esféricas: x² + y² + z² = 1 => r = 1 x² + y² + z² = 4 => r = 2 A região E está contida entre as esferas de r = 1 e r = 2, com x e y positivos. Isso significa que o ângulo azimutal φ varia de 0 a π/2 e o ângulo polar θ varia de 0 a π/2. A coordenada radial r varia de 1 a 2. Assim, podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas como: ∫ de 0 a π/2 ∫ de 0 a π/2 ∫ de 1 a 2 r³senφ dz dφ dr Resolvendo as integrais, obtemos: ∫ de 0 a π/2 ∫ de 0 a π/2 ∫ de 1 a 2 r³senφ dz dφ dr = 3π/4 Portanto, o valor da integral tripla é 3π/4.