Se x = 1, para quais valores de y os vetores OP e v = (-2, 2) são ortogonais?
O vetor OP é dado por OP = (x, y) = (1, y).
Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é zero.
O produto escalar entre OP e v é dado por OP.v = (1)(-2) + (y)(2) = 2y - 2.
Igualando a expressão anterior a zero, temos 2y - 2 = 0.
Logo, y = 1.
O vetor OP é dado por OP = (x, y) = (1, y).
Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é zero.
O produto escalar entre OP e v é dado por OP.v = (1)(-2) + (y)(2) = 2y - 2.
Igualando a expressão anterior a zero, temos 2y - 2 = 0.
Logo, y = 1.
Respostas
Ed 
há 2 anos
Se x = 1, os vetores OP e v = (-2, 2) são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar entre OP e v é dado por OP.v = (1)(-2) + (y)(2) = 2y - 2. Igualando a expressão anterior a zero, temos 2y - 2 = 0. Logo, y = 1. Portanto, para y = 1, os vetores OP e v são ortogonais.
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Se y = −2, calcule os valores de x para que se tenha ||−−→OP|| = 5.
O vetor OP é dado por OP = (x, y) = (x, -2).
O módulo de OP é dado por ||OP|| = sqrt(x^2 + (-2)^2) = sqrt(x^2 + 4).
Igualando ||OP|| a 5, temos sqrt(x^2 + 4) = 5.
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos x^2 + 4 = 25.
Subtraindo 4 de ambos os lados, temos x^2 = 21.
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos x = sqrt(21) ou x = -sqrt(21).
Se x = 8, para quais valores de y os vetores OP e u = (2, 5) são paralelos?
O vetor OP é dado por OP = (x, y) = (8, y).
Dois vetores são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro.
O vetor u não é múltiplo escalar do vetor OP para nenhum valor de y.
Logo, não existem valores de y para os quais os vetores OP e u são paralelos.
Quantas são as retas paralelas à reta r : x + y = −6 que distam sqrt(2) do ponto P = (1, 1)? Determine a(s) equação(ões) cartesiana(s) desta(s) reta(s).
A reta r tem inclinação -1.
As retas paralelas a r têm a mesma inclinação de r.
A distância entre uma reta e um ponto é dada pela fórmula d = |Ax + By + C|/sqrt(A^2 + B^2), onde A, B e C são os coeficientes da equação geral da reta e (x, y) é um ponto qualquer da reta.
A equação geral da reta r é x + y + 6 = 0.
Substituindo x = 1 e y = 1 na equação geral de r, temos 1 + 1 + 6 = 8.
Logo, a equação geral da reta que passa pelo ponto P é x + y + 8 = 0.
A inclinação da reta que passa pelo ponto P é 1.
A equação geral da reta paralela a r e que dista sqrt(2) do ponto P é x + y + k = 0, onde k é uma constante a ser determinada.
A distância entre a reta x + y + k = 0 e o ponto P é d = |x + y + k + 2sqrt(2)|/sqrt(2).
Igualando d a sqrt(2), temos |x + y + k + 2sqrt(2)|/sqrt(2) = sqrt(2).
Logo, x + y + k + 2sqrt(2) = sqrt(2) ou x + y + k + 2sqrt(2) = -sqrt(2).
Resolvendo a primeira equação em relação a k, temos k = -2x - 2y.
Resolvendo a segunda equação em relação a k, temos k = 2x + 2y - 4sqrt(2).
Logo, as equações gerais das retas paralelas a r e que distam sqrt(2) do ponto P são x + y - 2x - 2y = 0 e x + y + 2x + 2y - 4sqrt(2) = 0, ou seja, -x - y = 0 e 3x + 3y = 4sqrt(2).
Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular a reta r.
A reta r tem inclinação -1.
A reta s tem inclinação 1.
Logo, a reta s é perpendicular a r.
O ponto P é dado por P = (x, y) = (−2, 4).
A equação geral da reta r é x + y + 6 = 0.
A equação geral da reta s é x - y + k = 0, onde k é uma constante a ser determinada.
As equações paramétricas da reta s são x = t - 2 e y = t + 4.
Substituindo x = t - 2 e y = t + 4 na equação geral de s, temos t - 2 - (t + 4) + k = 0.
Logo, k = -2.
Portanto, a equação cartesiana da reta s é x - y - 2 = 0.
Seja u a reta de equação cartesiana 2x − y = 3. Determine se r e u são paralelas, coincidentes ou concorrentes.
A reta r tem inclinação -1.
A reta u tem inclinação 2.
Logo, as retas r e u não são paralelas.
Substituindo x = 1 na equação de u, temos 2(1) - y = 3.
Logo, y = -1.
Portanto, o ponto de interseção das retas r e u é (1, -1).
Logo, as retas r e u são concorrentes em um único ponto.
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