Um fabricante de leite condensado deseja comercializar seu produto em embalagens cilíndricas de volume V. Determine as dimensões dessa embalagem pa...

Para que o fabricante de leite condensado gaste um mínimo de material em sua fabricação, a embalagem cilíndrica deve ter dimensões que minimizem a área de superfície. A fórmula para o volume de uma embalagem cilíndrica é V = πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura da embalagem. Para minimizar a área de superfície, precisamos minimizar a expressão A = 2πrh + 2πr², que representa a área total da embalagem. Podemos usar o método do cálculo diferencial para encontrar o mínimo dessa expressão. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de A em relação a r e h, igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante. O resultado é que a embalagem cilíndrica deve ter raio r = √(V/πh) e altura h = 2r. Substituindo esses valores na expressão para A, obtemos a área mínima da embalagem, que é A = 4π(V²/π³)^(1/3).