Considere que a área superficial de um cubo está aumentando a uma taxa de 48m2/s. Quão rápido está aumentando o volume do cubo no instante em ...

Para resolver esse problema, precisamos usar as fórmulas da área e do volume do cubo. A área superficial de um cubo é dada por A = 6l², onde l é o comprimento do lado do cubo, e o volume é dado por V = l³. Sabemos que a área superficial está aumentando a uma taxa de 48 m²/s, então temos dA/dt = 48 m²/s. Queremos saber a taxa de variação do volume, ou seja, dV/dt, quando l = 2 m. Podemos usar a regra da cadeia para encontrar dV/dt em termos de dA/dt: dV/dt = d/dt (l³) = 3l² (dl/dt) Agora precisamos encontrar dl/dt quando l = 2 m. Podemos usar a fórmula da área superficial para encontrar l em função de A: A = 6l² l² = A/6 l = √(A/6) Podemos derivar essa expressão em relação ao tempo para obter dl/dt em função de dA/dt: 2l (dl/dt) = (1/6) (dA/dt) dl/dt = (1/12l) (dA/dt) Substituindo os valores conhecidos, temos: l = √(A/6) = √(48/6) = 4 m dA/dt = 48 m²/s dl/dt = (1/12l) (dA/dt) = (1/48) (48) = 1 m/s Finalmente, podemos encontrar dV/dt: dV/dt = 3l² (dl/dt) = 3(4²)(1) = 48 m³/s Portanto, o volume do cubo está aumentando a uma taxa de 48 m³/s quando o comprimento do lado é 2 m.