Calcule as seguintes integrais: a) (2,0 pontos) ∫ e2xcos 3x dx; b) (1,5 ponto) ∫ x2 + 2 x2 − 3x− 4 dx; c) (1,5 ponto) ∫ sen3 x cos4 x dx a) (2,0 p...

a) Para calcular a integral ∫e^(2x)cos(3x)dx, podemos usar integração por partes. Fazendo u = e^(2x) e dv = cos(3x)dx, temos du/dx = 2e^(2x) e v = (1/3)sen(3x). Então, temos: ∫e^(2x)cos(3x)dx = (1/3)e^(2x)sen(3x) - (2/3)∫e^(2x)sen(3x)dx Usando integração por partes novamente, fazendo u = e^(2x) e dv = sen(3x)dx, temos du/dx = 2e^(2x) e v = (-1/3)cos(3x). Então, temos: ∫e^(2x)cos(3x)dx = (1/3)e^(2x)sen(3x) + (4/9)e^(2x)cos(3x) - (8/27)∫e^(2x)cos(3x)dx Resolvendo para a integral, temos: ∫e^(2x)cos(3x)dx = (3/13)e^(2x)sen(3x) + (4/39)e^(2x)cos(3x) + C b) Para calcular a integral ∫(x^2 + 2)/(x^2 - 3x - 4)dx, podemos usar decomposição em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador como (x - 4)(x + 1): (x^2 + 2)/(x^2 - 3x - 4) = (A/(x - 4)) + (B/(x + 1)) Multiplicando ambos os lados por (x - 4)(x + 1), temos: x^2 + 2 = A(x + 1) + B(x - 4) Substituindo x = 4, temos: 18 = 5B Logo, B = 18/5. Substituindo x = -1, temos: 3/5 = -A Logo, A = -3/5. Então, temos: ∫(x^2 + 2)/(x^2 - 3x - 4)dx = (-3/5)∫1/(x - 4)dx + (18/5)∫1/(x + 1)dx Usando a regra da função logarítmica, temos: ∫(x^2 + 2)/(x^2 - 3x - 4)dx = (-3/5)ln|x - 4| + (18/5)ln|x + 1| + C c) Para calcular a integral ∫sen(3x)cos(4x)dx, podemos usar integração por partes. Fazendo u = sen(3x) e dv = cos(4x)dx, temos du/dx = 3cos(3x) e v = (1/4)sen(4x). Então, temos: ∫sen(3x)cos(4x)dx = (1/4)sen(3x)sen(4x) - (3/4)∫cos(3x)sen(4x)dx Usando integração por partes novamente, fazendo u = cos(3x) e dv = sen(4x)dx, temos du/dx = -3sen(3x) e v = (-1/4)cos(4x). Então, temos: ∫sen(3x)cos(4x)dx = (1/4)sen(3x)sen(4x) + (3/16)cos(3x)cos(4x) - (9/16)∫sen(3x)sen(4x)dx Resolvendo para a integral, temos: (25/34)∫sen(3x)cos(4x)dx = (1/4)sen(3x)sen(4x) + (3/16)cos(3x)cos(4x) + C Então, temos: ∫sen(3x)cos(4x)dx = (34/25)[(1/4)sen(3x)sen(4x) + (3/16)cos(3x)cos(4x)] + C