Considere a equações de diferenças abaixo: y[n] + 0, 9y[n − 1] + 0, 18y[n − 2] = x[n] Sabendo que x[n] = 0, 5nu[n], y[−1] = 0, y[−2] = 1, enco...

Para encontrar o valor de y[n] quando n = 3, podemos usar o método da solução particular e solução homogênea. Primeiro, encontramos a solução homogênea: y[n] + 0,9y[n-1] + 0,18y[n-2] = 0 A equação característica é dada por: r^2 + 0,9r + 0,18 = 0 Resolvendo a equação, encontramos as raízes r1 = -0,3 e r2 = -0,6. Portanto, a solução homogênea é dada por: y_h[n] = c1(-0,3)^n + c2(-0,6)^n Agora, encontramos a solução particular para x[n] = 0,5nu[n]: y_p[n] = A(0,5)n u[n] Substituindo y_p[n] e x[n] na equação original, temos: A(0,5)^n u[n] + 0,9A(0,5)^(n-1) u[n-1] + 0,18A(0,5)^(n-2) u[n-2] = 0,5n u[n] Para n = 0, temos: A(0,5)^0 = 0,5^0 A = 1 Para n = 1, temos: A(0,5)^1 + 0,9A(0,5)^0 = 0,5^1 A(0,5) + 0,9A = 0,5 A = -0,4 Para n = 2, temos: A(0,5)^2 + 0,9A(0,5)^1 + 0,18A(0,5)^0 = 0,5^2 A(0,25) - 0,36A + 0,18A = 0,25 A = 0,5 Portanto, a solução particular é dada por: y_p[n] = -0,4(0,5)^n u[n] + 0,5(0,5)^n u[n] A solução geral é dada por: y[n] = y_h[n] + y_p[n] y[n] = c1(-0,3)^n + c2(-0,6)^n - 0,4(0,5)^n u[n] + 0,5(0,5)^n u[n] Usando as condições iniciais y[-1] = 0 e y[-2] = 1, podemos encontrar os valores de c1 e c2: y[-1] = 0 = c1(-0,3)^(-1) + c2(-0,6)^(-1) - 0,4(0,5)^(-1) + 0,5(0,5)^(-1) c1 = -0,2 + 0,3c2 y[-2] = 1 = c1(-0,3)^(-2) + c2(-0,6)^(-2) - 0,4(0,5)^(-2) + 0,5(0,5)^(-2) c2 = 1,2 - 2c1 Substituindo c2 em c1, temos: c1 = -0,2 + 0,3(1,2 - 2c1) c1 = 0,26 Substituindo c1 em c2, temos: c2 = 1,2 - 2(0,26) c2 = 0,68 Portanto, a solução geral é dada por: y[n] = 0,26(-0,3)^n + 0,68(-0,6)^n - 0,4(0,5)^n u[n] + 0,5(0,5)^n u[n] Substituindo n = 3, temos: y[3] = 0,26(-0,3)^3 + 0,68(-0,6)^3 - 0,4(0,5)^3 u[3] + 0,5(0,5)^3 u[3] y[3] = 0,026244 Portanto, o valor da saída y[n] quando n = 3 é aproximadamente 0,026244.