Um recipiente em formato cilíndrico, sem tampa, deve ter o volume de . Foi estimado que o custo do material a ser utilizado para a base do recipien...

Vamos denotar o raio da base do cilindro como �

r e a altura como ℎ

h. O volume �

V do cilindro é dado por:

�=��2ℎ

V=πr2

h

O custo total �

C do material utilizado para a base e a lateral do recipiente é a soma do custo da base e do custo da lateral:

�=Custo da Base+Custo da Lateral

C=Custo da Base+Custo da Lateral

�=0,45×��2+2×0,15×��ℎ

C=0,45×πr2

+2×0,15×πrh

Substituindo a expressão do volume �

V na equação do custo �

C, temos:

�=0,45��2+2×0,15��(���2)

C=0,45πr2

+2×0,15πr(πr2

V

​)

�=0,45��2+0,3��

C=0,45πr2

+0,3r

V

​

Agora, vamos expressar ℎ

h em termos de �

r usando a fórmula do volume:

�=��2ℎ

V=πr2

h

ℎ=���2

h=πr2

V

​

Substituindo ℎ

h na equação do custo �

C, obtemos:

�=0,45��2+0,3��

C=0,45πr2

+0,3r

V

​

�=0,45��2+0,31���2ℎ

C=0,45πr2

+0,3r

1

​πr2

h

�=0,75��2+0,3��ℎ

C=0,75πr2

+0,3πrh

Agora, precisamos expressar ℎ

h em termos de �

r. Vamos substituir ℎ

h usando a fórmula do volume:

ℎ=���2

h=πr2

V

​

Substituindo ℎ

h na equação do custo �

C, temos:

�=0,75��2+0,3�(���2)

C=0,75πr2

+0,3π(πr2

V

​)

�=0,75��2+0,3��

C=0,75πr2

+0,3r

V

​

Agora, a equação do custo �

C está totalmente expressa em termos de �

r. Vamos minimizá-la derivando em relação a �

r e igualando a zero:

����=1.5��−0,3��2=0

dr

dC

​=1.5πr−0,3r2

V

​=0

Multiplicando ambos os lados por �2

r2

:

1.5��3−0,3�=0

1.5πr3

−0,3V=0

Isolando �

r:

�3=0,3�1,5�

r3

=1,5π

0,3V

​

�3=0,2��

r3

=π

0,2V

​

�=(0,2��)1/3

r=(π

0,2V

​)1/3

Agora, podemos encontrar ℎ

h usando a fórmula do volume:

ℎ=���2

h=πr2

V

​

ℎ=��(0,2��)2/3

h=π(π

0,2V

​)2/3

V

​

Simplificando, obtemos:

ℎ=(0,2��)1/3

h=(π

0,2V

​)1/3

Portanto, as medidas aproximadas do raio e da altura que minimizam o custo do material são dadas por:

�=(0,2��)1/3

r=(π

0,2V

​)1/3

ℎ=(0,2��)1/3

h=(π

0,2V

​)1/3

Note que o valor exato de �

V não foi fornecido, então as respostas são expressas em termos de �

V. As alternativas fornecidas não estão em conformidade com a solução.