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Encontre a quantidade de gramas de sal A(t) no tanque em qualquer instante. A quantidade de sal no tanque é dada pela equação: dA/dt = 10 - (2/500...

Encontre a quantidade de gramas de sal A(t) no tanque em qualquer instante.

A quantidade de sal no tanque é dada pela equação: dA/dt = 10 - (2/500)A
A solução salina contém 2g de sal por litro
O tanque contém 500 litros de água pura
A solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto
A mistura é drenada a uma taxa de 5 litros por minuto

Essa pergunta também está no material:

Questão 23 - Pág 115 - Equações Diferenciais - Zill
2 pág.

Equações Diferenciais I EngenhariasEngenharias

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Para encontrar a quantidade de gramas de sal A(t) no tanque em qualquer instante, podemos utilizar a equação: dA/dt = 10 - (2/500)A Onde A é a quantidade de sal em gramas no tanque e t é o tempo em minutos. Para resolver a equação, podemos utilizar o método de separação de variáveis: dA/(10 - (2/500)A) = dt Integrando ambos os lados, temos: - (1/250)ln|10 - (2/500)A| = t + C Onde C é a constante de integração. Para encontrar o valor de C, podemos utilizar as condições iniciais: - No tempo t = 0, o tanque está vazio, ou seja, A(0) = 0. - A solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. - A mistura é drenada a uma taxa de 5 litros por minuto. Isso significa que, no tempo t = 0, o tanque começa a ser preenchido com a solução salina a uma taxa de 2g/L x 5 L/min = 10g/min. Assim, temos: dA/dt = 10 - (2/500)A 10 - (2/500)A = 0 (no tempo t = 0) A = 2500g Substituindo esses valores na equação, temos: - (1/250)ln|10 - (2/500)A| = t + C - (1/250)ln|10 - (2/500)(2500)| = 0 + C - C = -ln(3) Portanto, a equação que representa a quantidade de sal A(t) no tanque em qualquer instante é: A(t) = 2500 - 3000e^(-t/250) Onde A(t) é a quantidade de sal em gramas no tanque no tempo t em minutos.

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