97 - (UFTM) Um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c, dadas em centímetros, cujo volume é 1080 cm3, tem duas faces paralelas e congru...

Para resolver esse problema, podemos utilizar as informações fornecidas no enunciado e a fórmula do volume do paralelepípedo, que é dada por V = abc. Sabemos que o volume é 1080 cm³, então temos: V = abc 1080 = ab * c Também sabemos que o paralelepípedo tem duas faces paralelas e congruentes, de dimensões a e b, cujas áreas somam 216 cm². Como a e b são números inteiros e o mmc(a,b) = 36, podemos escrever: a = 36x b = 36y a + b = 3x + 3y = 3(x + y) Além disso, temos que a medida a é 3 cm maior que a medida b, então: a = b + 3 36x = 36y + 3 12x = 4y + 1 Agora podemos resolver o sistema de equações formado pelas três últimas equações: 3(x + y) = 12x - 4y + 3 3x + 3y = 12x - 4y + 3 7y = 3x - 1 Como a e b são números inteiros e o mmc(a,b) = 36, temos que x e y são múltiplos de 3. Além disso, a e b são números inteiros positivos, então x e y são maiores ou iguais a 1. Testando alguns valores, encontramos que x = 4 e y = 7 satisfazem todas as condições. Portanto, a = 36x = 144 e b = 36y = 252. Agora podemos calcular a altura c: 1080 = ab * c 1080 = 144 * 252 * c c = 5 Assim, as áreas das faces paralelas e congruentes são 216/2 = 108 cm² cada. As outras quatro faces têm dimensões a x c, b x c e a x b, então suas áreas são: 2ac + 2bc + 2ab = 2 * 144 * 5 + 2 * 252 * 5 + 2 * 144 * 252 = 1440 + 2520 + 72576 = 76656 Portanto, a soma das áreas de todas as faces é 76656 + 2 * 108 = 76872 cm², que é mais próxima da alternativa (b) 636.