QUESTÃO 2: Integração Numérica Integre a função ∫ ???? ∙ ???? ???? + 1 ???????? 3 0 adotando 12 subintervalos. Utilize os métodos: a. Método dos Retângulos ...

Para resolver a questão de integração numérica utilizando os métodos solicitados, é necessário seguir os seguintes passos: 1. Calcular o tamanho de cada subintervalo, que será dado por: h = (b - a) / n, onde b é o limite superior de integração (3), a é o limite inferior de integração (0) e n é o número de subintervalos (12). 2. Calcular os valores da função em cada ponto de divisão dos subintervalos. Para isso, é necessário escolher um ponto em cada subintervalo para calcular o valor da função. No caso do método dos retângulos com altura tomada pela esquerda, escolhe-se o ponto a_i; no caso do método dos retângulos com altura tomada pela direita, escolhe-se o ponto b_i; no caso do método dos trapézios, escolhe-se o ponto médio (a_i + b_i) / 2; e no caso das regras de Simpson, escolhe-se dois pontos em cada subintervalo. 3. Calcular a área de cada subintervalo utilizando a fórmula correspondente a cada método. No caso do método dos retângulos com altura tomada pela esquerda, a área será dada por: f(a_i) * h; no caso do método dos retângulos com altura tomada pela direita, a área será dada por: f(b_i) * h; no caso do método dos trapézios, a área será dada por: (f(a_i) + f(b_i)) * h / 2; e no caso das regras de Simpson, a área será dada por: (b_i - a_i) * (f(a_i) + 4 * f((a_i + b_i) / 2) + f(b_i)) / 6 para a regra 1/3 de Simpson e (b_i - a_i) * (f(a_i) + 3 * f((2 * a_i + b_i) / 3) + 3 * f((a_i + 2 * b_i) / 3) + f(b_i)) / 8 para a regra 3/8 de Simpson. 4. Somar as áreas de todos os subintervalos para obter o valor aproximado da integral. Aplicando esses passos, temos: a) Método dos Retângulos com a altura tomada pela esquerda: h = (3 - 0) / 12 = 0,25 Área do primeiro subintervalo: f(0) * h = 1 * 0,25 = 0,25 Área do segundo subintervalo: f(0,25) * h = 1,15625 * 0,25 = 0,2890625 Área do terceiro subintervalo: f(0,5) * h = 1,421875 * 0,25 = 0,35546875 Área do quarto subintervalo: f(0,75) * h = 1,640625 * 0,25 = 0,41015625 Área do quinto subintervalo: f(1) * h = 1,875 * 0,25 = 0,46875 Área do sexto subintervalo: f(1,25) * h = 2,109375 * 0,25 = 0,52734375 Área do sétimo subintervalo: f(1,5) * h = 2,328125 * 0,25 = 0,58203125 Área do oitavo subintervalo: f(1,75) * h = 2,53125 * 0,25 = 0,6328125 Área do nono subintervalo: f(2) * h = 2,71875 * 0,25 = 0,6796875 Área do décimo subintervalo: f(2,25) * h = 2,890625 * 0,25 = 0,72265625 Área do décimo primeiro subintervalo: f(2,5) * h = 3,046875 * 0,25 = 0,76171875 Área do décimo segundo subintervalo: f(2,75) * h = 3,1875 * 0,25 = 0,796875 Área total: 0,25 + 0,2890625 + 0,35546875 + 0,41015625 + 0,46875 + 0,52734375 + 0,58203125 + 0,6328125 + 0,6796875 + 0,72265625 + 0,76171875 + 0,796875 = 5,01660156 b) Método dos Retângulos com a altura tomada pela direita: h = (3 - 0) / 12 = 0,25 Área do primeiro subintervalo: f(0,25) * h = 1,15625 * 0,25 = 0,2890625 Área do segundo subintervalo: f(0,5) * h = 1,421875 * 0,25 = 0,35546875 Área do terceiro subintervalo: f(0,75) * h = 1,640625 * 0,25 = 0,41015625 Área do quarto subintervalo: f(1) * h = 1,875 * 0,25 = 0,46875 Área do quinto subintervalo: f(1,25) * h = 2,109375 * 0,25 = 0,52734375 Área do sexto subintervalo: f(1,5) * h = 2,328125 * 0,25 = 0,58203125 Área do sétimo subintervalo: f(1,75) * h = 2,53125 * 0,25 = 0,6328125 Área do oitavo subintervalo: f(2) * h = 2,71875 * 0,25 = 0,6796875 Área do nono subintervalo: f(2,25) * h = 2,890625 * 0,25 = 0,72265625 Área do décimo subintervalo: f(2,5) * h = 3,046875 * 0,25 = 0,76171875 Área do décimo primeiro subintervalo: f(2,75) * h = 3,1875 * 0,25 = 0,796875 Área do décimo segundo subintervalo: f(3) * h = 3,375 * 0,25 = 0,84375 Área total: 0,2890625 + 0,35546875 + 0,41015625 + 0,46875 + 0,52734375 + 0,58203125 + 0,6328125 + 0,6796875 + 0,72265625 + 0,76171875 + 0,796875 + 0,84375 = 5,26757812 c) Método dos Trapézios: h = (3 - 0) / 12 = 0,25 Área do primeiro subintervalo: (f(0) + f(0,25)) * h / 2 = (1 + 1,15625) * 0,25 / 2 = 0,2890625 Área do segundo subintervalo: (f(0,25) + f(0,5)) * h / 2 = (1,15625 + 1,421875) * 0,25 / 2 = 0,35546875 Área do terceiro subintervalo: (f(0,5) + f(0,75)) * h / 2 = (1,421875 + 1,640625) * 0,25 / 2 = 0,41015625 Área do quarto subintervalo: (f(0,75) + f(1)) * h / 2 = (1,640625 + 1,875) * 0,25 / 2 = 0,46875 Área do quinto subintervalo: (f(1) + f(1,25)) * h / 2 = (1,875 + 2,109375) * 0,25 / 2 = 0,52734375 Área do sexto subintervalo: (f(1,25) + f(1,5)) * h / 2 = (2,109375 + 2,328125) * 0,25 / 2 = 0,58203125 Área do sétimo subintervalo: (f(1,5) + f(1,75)) * h / 2 = (2,328125 + 2,53125) * 0,25 / 2 = 0,6328125 Área do oitavo subintervalo: (f(1,75) + f(2)) * h / 2 = (2,53125 + 2,71875) * 0,25 / 2 = 0,6796875 Área do nono subintervalo: (f(2) + f(2,25)) * h / 2 = (2,71875 + 2,890625) * 0,25 / 2 = 0,72265625 Área do décimo subintervalo: (f(2,25) + f(2,5)) * h / 2 = (2,890625 + 3,046875) * 0,25 / 2 = 0,76171875 Área do décimo primeiro subintervalo: (f(2,5) + f(2,75)) * h / 2 = (3,046875 + 3,1875) * 0,25 / 2 = 0,796875 Área do décimo segundo subintervalo: (f(2,75) + f(3)) * h / 2 = (3,1875 + 3,375) * 0,25 / 2 = 0,84375 Área total: 0,2890625 + 0,35546875 + 0,41015625 + 0,46875 + 0,52734375 + 0,58203125 + 0,6328125 + 0,6796875 + 0,72265625 + 0,76171875 + 0,796875 + 0,84375 = 5,14160156 d) Regra 1/3 de Simpson: h = (3 - 0) / 12 = 0,25 Área do primeiro subintervalo: (f(0) + 4 * f(0,125) + f(0,25)) * h / 6 = (1 + 4 * 1,02734375 + 1,15625) * 0,25 / 6 = 0,305989583 Área do segundo subintervalo: (f(0,25) + 4 * f(0,5) + f(0,75)) * h / 6 = (1,15625 + 4 * 1,53125 + 1,640625) * 0,25 / 6 = 0,408203125 Área do terceiro subintervalo: (f(0,5) + 4 * f(0,75) + f(1)) * h / 6 = (1,421875 + 4 * 1,765625 + 1,875) * 0,25 / 6 = 0,4765625 Área do quarto subintervalo: (f(1) + 4 * f(1,25) + f(1,5)) * h / 6 = (1,875 + 4 * 2,24609375 + 2,328125) * 0,25 / 6 = 0,548177083 Área do quinto subintervalo: (f(1,5) + 4 * f(1,75) + f(2)) * h / 6 = (2,328125 + 4 * 2,546875 + 2,71875) * 0,25 / 6 = 0,606119792 Área do sexto subintervalo: (f(2) + 4 * f(2,25) + f(2,5)) * h / 6 = (2,71875 + 4 * 2,890625 + 3,046875) * 0,25 / 6 = 0,649739583 Área do sétimo subintervalo: (f(2,5) + 4 * f(2,75) + f(3)) * h / 6 = (3,046875 + 4 * 3,15625 + 3,375) * 0,25 / 6 = 0,678385417 Área total: 0,305989583 + 0,408203125 + 0,4765625 + 0,548177083 + 0,606119792 + 0,649739583 + 0,678385417 = 3,673176093 e) Regra 3/8 de Simpson: h = (3 - 0) / 12 = 0,25 Área do primeiro subintervalo: (f(0) + 3 * f(0,083333333) + 3 * f(0,166666667) + f(0,25)) * h * 3 / 8 = (1 + 3 * 0,99609375 + 3 * 1,078125 + 1,15625) * 0,25 * 3 / 8 = 0,408203125 Área do segundo subintervalo: (f(0,25) + 3 * f(0,416666667) + 3 * f(0,583333333) + f(0,75)) * h * 3 / 8 = (1,15625 + 3 * 1,359375 + 3 * 1,546875 + 1,640625) * 0,25 * 3 / 8 = 0,576822917 Área do terceiro subintervalo: (f(0,75) + 3 * f(1,083333333) + 3 * f(1,416666667) + f(1,75)) * h * 3 / 8 = (1,640625 + 3 * 1,953125 + 3 * 2,328125 + 2,53125) * 0,25 * 3 / 8 = 0,853515625 Área do quarto subintervalo: (f(1,75) + 3 * f(2,083333333) + 3 * f(2,416666667) + f(2,75)) * h * 3 / 8 = (2,53125 + 3 * 2,734375 + 3 * 2,953125 + 3,1875) * 0,25 * 3 / 8 = 0,853515625 Área total: 0,408203125 + 0,576822917 + 0,853515625 + 0,853515625 = 2,692057292 Portanto, a integral aproximada da função ∫ x³ + 1 dx de 0 a 3 adotando 12 subintervalos pelos métodos solicitados são: a) Método dos Retângulos com a altura tomada pela esquerda: 5,01660156 b) Método dos Retângulos com a altura tomada pela direita: 5,26757812 c) Método dos Trapézios: 5,14160156 d) Regra 1/3 de Simpson: 3,673176093 e) Regra 3/8 de Simpson: 2,692057292