Calcule   dxx  3 12 por dois métodos: a) expanda 3)12( x e aplique as regras da tabela de integração; b) Faça a substituição 12  xu . Expli...

Vamos lá! Primeiro, vamos resolver a integral utilizando o método da expansão: a) Expandindo 3/(12+x), temos: 3/(12+x) = 1/4 - (x-12)/48 + (x-12)²/576 - (x-12)³/6912 + ... Assim, temos: ∫[3/(12+x)]dx = ∫[1/4 - (x-12)/48 + (x-12)²/576 - (x-12)³/6912 + ...]dx ∫[3/(12+x)]dx = (1/4)x - (1/48)(x-12)² + (1/576)(x-12)³/3 - (1/6912)(x-12)⁴/12 + ... b) Agora, vamos utilizar o método da substituição: 12 + x = u dx = du Substituindo na integral, temos: ∫[3/(12+x)]dx = ∫[3/u]du ∫[3/(12+x)]dx = 3ln|u| + C ∫[3/(12+x)]dx = 3ln|12+x| + C A diferença na apresentação das respostas obtidas nos itens a) e b) é que a resposta obtida no item a) é uma série infinita, enquanto a resposta obtida no item b) é uma função logarítmica. A série infinita é uma soma de infinitos termos, enquanto a função logarítmica é uma função contínua.