15. (Mackenzie 96) Com as raízes da equação x¥ - 4x¤ + 5x£ - 2x = 0 formam-se k números de quatro algarismos. Então k vale: a) 27. b) 54. c) 81. ...

Para resolver essa questão, precisamos encontrar as raízes da equação x¥ - 4x¤ + 5x£ - 2x = 0. Podemos fatorar a equação para obter: x(x³ - 4x² + 5x - 2) = 0 A partir daí, podemos usar o Teorema de D'Alembert para encontrar as raízes da equação cúbica x³ - 4x² + 5x - 2. O teorema nos diz que, se a equação tem uma raiz racional p/q (onde p e q são primos entre si), então p é um divisor do termo constante (neste caso, 2) e q é um divisor do coeficiente do termo de maior grau (neste caso, 1). Testando os divisores de 2 (os possíveis valores de p) e 1 (os possíveis valores de q), encontramos que a equação tem uma raiz racional igual a 2/1 = 2. Podemos então dividir a equação cúbica por x - 2 para obter: x³ - 4x² + 5x - 2 = (x - 2)(x² - 2x + 1) As outras duas raízes da equação cúbica são as raízes da equação quadrática x² - 2x + 1, que são iguais a 1. Portanto, as três raízes da equação original são 0, 1 e 2. Agora, precisamos contar quantos números de quatro algarismos podemos formar usando essas três raízes. Podemos escolher qualquer uma das três raízes para o primeiro algarismo (exceto 0, que não pode ser o primeiro algarismo), qualquer uma das três raízes para o segundo algarismo, qualquer uma das três raízes para o terceiro algarismo e qualquer uma das três raízes para o quarto algarismo. Portanto, o número total de números de quatro algarismos que podemos formar é 3 x 3 x 3 x 3 = 81. Portanto, a alternativa correta é a letra c) 81.