Determine o valor de , onde s(x) é a função comprimento do arco da curva , medido a partir do ponto . ln( )√2+1 ln(√2 + 1) ln( )√3+2 ln(√3 + 2)

Para determinar o valor de s(x), é necessário integrar a função comprimento do arco da curva. A função comprimento do arco é dada por: s(x) = ∫[a,b] √[1 + (f'(x))^2] dx No caso da curva dada, temos: f(x) = ln(√x^2 + 1) f'(x) = x/√x^2 + 1 Substituindo na fórmula da função comprimento do arco, temos: s(x) = ∫[a,b] √[1 + (x/√x^2 + 1)^2] dx s(x) = ∫[a,b] √[(x^2 + 1)/(x^2 + 1)] dx s(x) = ∫[a,b] √2/(√x^2 + 1) dx Para resolver a integral, é necessário fazer a substituição trigonométrica x = tan(t). Então, temos: dx = sec^2(t) dt √x^2 + 1 = sec(t) Substituindo na integral, temos: s(x) = ∫[a,b] √2/(√x^2 + 1) dx s(x) = ∫[α,β] √2 sec(t) sec^2(t) dt s(x) = ∫[α,β] √2 sec^3(t) dt Para resolver essa integral, é necessário fazer a substituição u = sec(t) + tan(t). Então, temos: du/dt = sec(t) tan(t) + sec^2(t) du = (sec(t) tan(t) + sec^2(t)) dt sec^3(t) dt = (sec(t) tan(t) + sec^2(t)) dt = du Substituindo na integral, temos: s(x) = ∫[α,β] √2 sec^3(t) dt s(x) = ∫[u(α),u(β)] √2 du/u s(x) = √2 ln|u| [u(α),u(β)] s(x) = √2 ln|sec(t) + tan(t)| [α,β] Substituindo de volta para x, temos: s(x) = √2 ln|√x^2 + 1 + x| [a,b] Portanto, para determinar o valor de s(x) para cada ponto dado, basta substituir o valor de x na fórmula acima.