Seja a função h(x, y, z) = 2z3e−2xsen(2y). Determine a soma de fxyz + no ponto (x,y,z) = (0,0,2). 4. 0. −8√2. −16√2. 16√2. 8√2.

Para encontrar a soma de fxyz + no ponto (x,y,z) = (0,0,2), precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem e segunda ordem da função h(x, y, z) em relação a x, y e z. h(x, y, z) = 2z^3e^(-2x)sen(2y) Calculando as derivadas parciais de primeira ordem: fx = -4z^3e^(-2x)sen(2y) fy = 4z^3e^(-2x)cos(2y) fz = 6z^2e^(-2x)sen(2y) Substituindo o ponto (x,y,z) = (0,0,2): fx(0,0,2) = 0 fy(0,0,2) = 8 fz(0,0,2) = 0 Agora, calculando as derivadas parciais de segunda ordem: fxx = 8z^3e^(-2x)sen(2y) fxy = 8z^3e^(-2x)cos(2y) fxz = -24z^2e^(-2x)sen(2y) fyy = -4z^3e^(-2x)sen(2y) fyx = 8z^3e^(-2x)cos(2y) fyz = 0 fzz = 12z^2e^(-2x)sen(2y) fzx = -24z^2e^(-2x)sen(2y) fzy = 0 Substituindo o ponto (x,y,z) = (0,0,2): fxx(0,0,2) = 32 fxy(0,0,2) = 0 fxz(0,0,2) = 0 fyy(0,0,2) = 0 fyx(0,0,2) = 8 fyz(0,0,2) = 0 fzz(0,0,2) = 16 fzx(0,0,2) = 0 fzy(0,0,2) = 0 Agora podemos calcular a soma de fxyz + no ponto (x,y,z) = (0,0,2): fxyz + = fxy(0,0,2) + fyz(0,0,2) + fxz(0,0,2) + fyx(0,0,2) + fzx(0,0,2) + fzy(0,0,2) fxyz + = 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 fxyz + = 8 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 8√2.