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04/01/2024, 11:59 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/8 Exercício por Temas avalie sua aprendizagem A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos. Seja determine o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide . CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS Lupa DGT0234_202312036621_TEMAS Aluno: JHONNY PACINI Matr.: 202312036621 Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL 2023.4 FLEX (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha. Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. INTEGRAIS DUPLAS 1. . . . . . Data Resp.: 04/01/2024 11:50:29 Explicação: O volume o que �ca embaixo dessa função até o plano vai ser: Onde é aquela região da função onde : Isso é uma circunferência, de centro na origem e raio . Como temos uma circunferência, vamos mudar para coordenadas polares. a > 0 S z = 0 z = a − x2 − y2 a2 2 3πa2 2 πa2 2 πa2 3 πa 2 xy V = ∬ D zdxdy = ∬ D (a − x2 − y2) dxdy = D z = 0 z = a − x2 − y2 0 = a − x2 − y2 x2 + y2 = a √a javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:diminui(); javascript:diminui(); javascript:aumenta(); javascript:aumenta(); 04/01/2024, 11:59 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/8 Determine o volume do sólido que �ca abaixo da paraboloide e acima do disco . As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com formas complicadas. O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em relação a um sistema de coordenadas. Calcule as coordenadas e do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado delimitado por e , se a densidade da região é dada por . O intervalo de integração, para um círculo de raio será: Integrando: 2. Data Resp.: 04/01/2024 11:50:44 Explicação: A resposta correta é: 3. . . . . . Data Resp.: 04/01/2024 11:50:50 Explicação: Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas e do ponto que representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por: x = r cos θ y = r sen θ J = r √a D = {(r, θ) ∣ 0 ≤ r ≤ √a; 0 ≤ θ ≤ 2π} V = ∫ 2π0 ∫ √a 0 [a − (r cos θ) 2 − (r sen θ)2] rdrdθ = ∫ 2π0 ∫ √a 0 [ar − r 3] drdθ V = ∫ 2π 0 − ∣ ∣ ∣ r=√a r=0 dθ = ∫ 2π 0 [( − )] dθ = ∫ 2π 0 ( − ) dθ V = ∫ 2π 0 dθ = ∣ ∣ ∣ 2π 0 = (2π − 0) = ar2 2 r4 4 a√a 2 2 √a 4 4 a2 2 a2 4 a2 4 a2θ 4 a2 4 a2π 2 z = 9 − x2 − y2 x2 + y2 = 4 14π 18π 54π 28π 38π 28π x y 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 δ(x, y) = y ( , )1 2 1 3 ( , )3 2 2 3 ( , )2 3 1 2 ( , )1 2 2 3 ( , )1 3 2 3 x y (xC, yC) 04/01/2024, 11:59 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/8 Determine o valor de Onde o elemento de massa é dado por: No nosso caso, é dado no enunciado como um quadrado, tal que: Calculando a coordenada : e Calculando a coordenada : E Logo, . 4. 6 4 8 1 3 Data Resp.: 04/01/2024 11:51:08 Explicação: A resposta correta é: 6 5. xC = yC = ∬ B xdm ∬ B dm ∬ B ydm ∬ B dm dm = δ(x, y)dxdy 0 ≤ x ≤ 1$e$0 ≤ y ≤ 1 x ∬ B xdm = ∫ 10 [∫ 1 0 xydx] dy = ∫ 1 0 y [ ] ∣ ∣ 1 0 dy = ∫ 10 dy = [ ] ∣ ∣ ∣ 1 0 = x2 2 y 2 y2 4 1 4 ∬ B dm = ∫ 1 0 [∫ 1 0 ydx] dy = ∫ 1 0 y[x] ∣ ∣ ∣ 1 0 dy = ∫ 1 0 ydy = [ ] ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 = xC = = = y2 2 1 2 ∬ B xdm ∬ B dm 1/4 1/2 1 2 y ∬ B ydm = ∫ 10 [∫ 1 0 y 2dx] dy = ∫ 10 y 2[x]∣∣ 1 0 dy = ∫ 10 y 2dy = [ ]∣∣ ∣ 1 0 = y3 3 1 3 ∬ B dm = ∫ 1 0 [∫ 1 0 ydx] dy = ∫ 1 0 y[x] ∣ ∣ ∣ 1 0 dy = ∫ 1 0 ydy = [ ] ∣ ∣∣ ∣ 1 0 = yC = = = y2 2 1 2 ∬ B ydm ∬ B dm 1/3 1/2 2 3 ( , )1 2 2 3 1 ∫ 0 2 ∫ 0 (2yx + 3yx2) dxdy 04/01/2024, 11:59 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/8 As integrais duplas são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Uma lâmina ocupa a região triangular no plano delimitada pelas retas e com densidade . Os valores da massa e o centro de massa, são respectivamente: e . e . e . e . e . Data Resp.: 04/01/2024 11:51:16 Explicação: Lembrando que: Desenhando os limites de integração: Onde Cálculo da massa: Cálculo coordenada : Cálculo coordenada : y = 1,x = 3 y = x + 1 ρ(x, y) = x m = 8u.m. ,xC = 9 8 yC = 17 3 m = 7u.m. ,xC = 9 5 yC = 17 9 m = 6u.m. ,xC = 9 2 yC = 17 2 m = 5u.m.,xC = 9 7 yC = 17 9 m = 9u.m. ,xC = 9 4 yC = 17 8 m = ∬ D ρ(x, y)dA xC = ∬ D xρ(x, y)dA yC = ∬ D yρ(x, y)dA 1 m 1 m 0 ≤ x ≤ 3; 1 ≤ y ≤ x + 1 m = ∬ D ρ(x, y)dA = ∫ 3 0 ∫ x+1 0 xdydx = ∫ 3 0 xy ∣ ∣ ∣ x+1 0 dx = ∫ 3 0 x(x + 1 − 1)dx m = ∬ D ρ(x, y)dA = ∫ 3 0 x2dx = ∣ ∣ ∣ 3 0 = = 9 x3 3 27 3 xC xC = ∬ D xρ(x, y)dA = ∫ 3 0 ∫ x+1 1 x2dydx = ∫ 3 0 x2y ∣ ∣ ∣ x+1 1 dx = ∫ 3 0 x3dx xC = ∬ D xρ(x, y)dA = ⋅ ∣ ∣ ∣ 3 0 = ⋅ = 1 m 1 9 1 9 1 9 1 m 1 9 x4 3 1 9 81 4 9 4 yC 04/01/2024, 11:59 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/8 A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos. Calcule as coordenadas e do centro de massa de um conjunto , sendo B o conjunto de todos tais que e a densidade é constante e igual a . Logo, e . 6. . . . . . Data Resp.: 04/01/2024 11:51:52 Explicação: Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas e do ponto que representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por: Onde o elemento de massa é dado por: Nesse caso, a área corresponde a: yC = ∬ D yρ(x, y)dA = ∫ 3 0 ∫ x+1 1 yxdydx = ∫ 3 0 x ∣ ∣ ∣ x+1 1 dx yC = ∫ 3 0 x (x2 + 2x + 1 − 1) dx = ∫ 3 0 x3 + 2x2dx = [ ∣ ∣ ∣ 3 0 + ∣ ∣ ∣ 3 0 ] yC = ( + 2 ⋅ ) = 1 m 1 9 1 9 y2 2 1 18 1 18 1 18 x4 3 2x3 3 1 18 81 4 27 3 17 8 m = 9u.m. ,xC = 9 4 yC = 17 8 x y B (x, y) x3 ≤ y ≤ x 1 ( , )7 15 8 21 ( , )8 21 8 21 ( , )8 15 8 21 ( , )8 15 8 15 ( , )8 21 8 15 x y (xC, yC) xC = ∬ B xdm ∬B dm dm = δ(x, y)dxdy 04/01/2024, 11:59 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 6/8 Determine o valor da integral , sendo S a área de�nida pelas retas x +y - 4 = 0, x = y e 0 ≤ x≤ 3. No nosso caso, vamos pegar apena a região com , pois é a única que atende a restrição e . A massa de é dada por: Calculando a coordenada : e Calculando a coordenada : e Logo, 7. 0 ≤ x ≤ 1 x3 ≤ y ≤ x δ(x, y) = 1 B ∬ B dm = ∫ 10 [∫ x x3 (1)dy] dx = ∫ 10 [y] ∣∣ x x3 dx = ∫ 10 [x − x 3] dx = [ − ]∣∣ 1 0 = [ − ] =x 2 2 x4 4 1 2 1 4 1 4 x ∬ B xdm = ∫ 1 0 [∫ x x3 (x)dy] dx = ∫ 1 0 x[y] ∣ ∣ ∣ x x3 dx = ∫ 1 0 x [x − x3] dx = ∫ 1 0 [x2 − x4] dx ∬ B xdm = [ − ] ∣ ∣ ∣ 1 0 = [ − ] = x3 3 x5 5 1 3 1 5 2 15 xC = = = ∬ B xdm ∬ B dm 2/15 1/4 8 15 y ∬ B ydm = ∫ 1 0 [∫ x x3 (y)dy] dx = ∫ 1 0 [ ] ∣ ∣ ∣ ∣ x x3 dy = ∫ 1 0 [x2 − x6] dx = [ − ] ∣ ∣ ∣ 1 0 = [ − ] = ∬ B ydm = [ − ] = y2 2 1 2 1 2 x3 3 x7 7 1 2 1 3 1 7 2 21 1 2 1 3 1 7 2 21 yC = = = ∬ B ydm ∬B dm 2/21 1/4 8 21 ( , )8 15 8 21 ∬ S (x + 2y)dx dy 76 3 96 3 46 3 04/01/2024, 11:59 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 7/8 A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da áreadada pela integral dupla é: Data Resp.: 04/01/2024 11:52:29 Explicação: A resposta correta é: 8. . . . . . Data Resp.: 04/01/2024 11:52:38 Explicação: Substituindo por coordenadas polares: E Resolvendo por integral: 56 3 86 3 76 3 ∫ a−a ∫ √a2−x2 0 (x 2 + y2)3/2dydx a2π 5 a6π 5 a3π 5 a4π 5 a5π 5 ∫ a −a ∫ √a2−x2 0 (x2 + y2) dydx −a ≤ x ≤ ae0 ≤ y ≤ √a2 − x2 3 2 r, θ 0 ≤ θ ≤ πe0 ≤ r ≤ a y = √a2 − x2 y2 + x2 = a2 ∫ a −a ∫ √a2−x2 0 (x2 + y2) dydx = ∫ π 0 ∫ a 0 (a2) rdrdθ = ∫ π 0 ∫ a 0 r4drdθ = ∫ π 0 [ ] ∣ ∣ ∣ a 0 dθ ∫ a −a ∫ √a2−x2 0 (x2 + y2) dydx = ∫ π 0 dθ = ∣ ∣ ∣ π 0 = 3 2 3 2 r5 5 3 2 a5 5 a5θ 5 a5π 5 04/01/2024, 11:59 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 8/8 Determine , usando a integral dupla na forma polar, onde S é a região de�nida por . Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região de�nida por S e tem uma densidade de massa super�cial . Sabe-se que 9. Data Resp.: 04/01/2024 11:58:48 Explicação: A resposta correta é: 10. 512 1024 128 256 2049 Data Resp.: 04/01/2024 11:59:02 Explicação: A resposta correta é: 256 Não Respondida Não Gravada Gravada Exercício por Temas inciado em 04/01/2024 11:49:48. ∬ S sen (x2 + y2)dx dx x2 + y2 ≤ π e x ≥ 0 3π 2π 4π π 5π 2π δ(x, y) = 2x + 4y S = {(x, y)/ 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ 2y}
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