Determine o valor de para a curva C parametrizada por , onde , o valor de é: Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, p...

Para determinar o valor de para a curva C parametrizada por , onde , o valor de é necessário calcular a integral de linha de f(x,y) ao longo da curva C. A integral de linha é dada por: ∫C f(x,y) ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t)) ||r'(t)|| dt Onde r(t) = (x(t), y(t)) é a parametrização da curva C. Substituindo os valores dados na integral de linha, temos: ∫C f(x,y) ds = ∫[0,2π] (e^(-2t) + e^(2t)) ||(-2e^(-2t), 3e^(2t))|| dt ∫C f(x,y) ds = ∫[0,2π] (e^(-2t) + e^(2t)) √(4e^(-4t) + 9e^(4t)) dt Simplificando a expressão dentro da raiz, temos: ∫C f(x,y) ds = ∫[0,2π] (e^(-2t) + e^(2t)) √(4 + 9e^(8t)) dt Fazendo a substituição u = 4 + 9e^(8t), temos: du/dt = 72e^(8t) dt = du/72e^(8t) Substituindo na integral, temos: ∫C f(x,y) ds = ∫[13, 157] (1/72) √u du ∫C f(x,y) ds = (1/72) * (2/3) * (u^(3/2)) |[13, 157] ∫C f(x,y) ds = (1/108) * (157^(3/2) - 13^(3/2)) Portanto, o valor de para a curva C parametrizada por , onde , o valor de é (1/108) * (157^(3/2) - 13^(3/2)).