(a) [1,3] Considere o polinômio ????(????) = ????4 − 3????3 + 2????2 + 4???? − 4, ???? ∈ ℝ. (a.1) Encontre todas as raízes reais de ????(????), utilizando o método...

(a.1) Para encontrar as raízes reais de ????4 − 3????3 + 2????2 + 4???? − 4, podemos utilizar o método de Briot-Ruffini. Começamos dividindo o polinômio pelo seu fator (???? − 1), que é uma das raízes óbvias. O resultado da divisão é ????4 − 3????3 + 2????2 + 4???? − 4 = (???? − 1)(????3 − 2????2 + 4). Agora, precisamos encontrar as raízes do polinômio ????3 − 2????2 + 4. Podemos tentar adivinhar uma raiz, por exemplo, ???? = 2, e fazer a divisão pelo fator (???? − 2). O resultado da divisão é ????3 − 2????2 + 4 = (???? − 2)(????2 + 2???? − 2). Portanto, as raízes reais de ????4 − 3????3 + 2????2 + 4???? − 4 são 1, 2 e as raízes do polinômio quadrático ????2 + 2???? − 2. (a.2) O polinômio ????1(????) é o mesmo polinômio que encontramos na questão (a.1), ou seja, ????1(????) = ????3 − 2????2 + 4. Esse polinômio não pode ser fatorado em fatores lineares ou quadráticos com coeficientes reais, pois suas raízes são complexas. (a.3) Como encontramos na questão (a.1), as raízes reais de ????4 − 3????3 + 2????2 + 4???? − 4 são 1, 2 e as raízes do polinômio quadrático ????2 + 2???? − 2. Portanto, podemos fatorar o polinômio como ????4 − 3????3 + 2????2 + 4???? − 4 = (???? − 1)(???? − 2)(????2 + 2???? − 2). O fator quadrático ????2 + 2???? − 2 não possui raízes reais, pois seu discriminante é negativo.