Considere o polinômio ????(????) = ????????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1, ???? ∈ ℝ e a constante ???? ∈ ℝ. Determine o valor da constante ???? se sabemos que ???? = ...

Considere o polinômio ????(????) = ????????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1, ???? ∈ ℝ e a constante ???? ∈ ℝ. Determine o valor da constante ???? se sabemos que ???? = −1 é uma raiz de ????(????). Com o valor da constante ???? determinado no item anterior, fatore ????(????) como produto de fatores lineares (ou seja, tipo ???????? + ????) e/ou fatores quadráticos irredutíveis em ℝ (ou seja, tipo ????????2 + ???????? + ????, que não possui raízes reais). Justifique a sua fatoração, deixando claro como encontrou todas as raízes.
[object Object]
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Se ???? = −1 é uma raiz de ????(????) então sabemos que ????(−1) = 0.
As possíveis raízes inteiras de ????(????) são ±1, pois são os divisores do termo independente que é igual a 1.
As possíveis raízes racionais não inteiras de ????(????) são ±1/2, ±1/4, ±1/8, pois são os divisores do termo independente que é igual a 1 divididos pelos divisores (diferentes de ±1) do coeficiente do termo de maior grau, que é igual a 8.
Para fatorar ????(????) = 8????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1, precisamos encontrar as raízes de ????(????).
Já sabemos que −1 é uma raiz de ????(????), vamos testar se 1 é raiz de ????(????).
Como já temos duas raízes de ????(????) e são muitas as possíveis raízes de ????(????), para determinar as outras raízes fica mais simples dividir ????(????) por (???? + 1) e por (???? − 1/2), pois ????(????) = 8????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1 = (???? + 1) (???? − 1/2) ∙ ????(????), onde ????(????) é um polinômio de segundo grau.
Determinando as raízes de ????(????) = 8????2 − 2: 8????2 − 2 = 0 ⟺ 8????2 = 2 ⟺ ????2 = 1/4 ⟺ ???? = 1/2 ou ???? = −1/2.
Portanto a fatoração de ????(????) é: ????(????) = 8????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1 = (???? + 1) (???? − 1/2) ∙ 8 (???? − 1/2) (???? + 1/2) ou ????(????) = 8????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1 = (???? + 1)(2???? − 1)(2???? − 1)(2???? + 1) ou ????(????) = 8????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1 = (???? + 1)(2???? − 1)2(2???? + 1).
a) ???? = 8 e ????(????) = 8????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1 = (???? + 1) (???? − 1/2) ∙ 8 (???? − 1/2) (???? + 1/2)
b) ???? = 8 e ????(????) = 8????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1 = (???? + 1)(2???? − 1)(2???? − 1)(2???? + 1)
c) ???? = 1 e ????(????) = ????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1 = (???? + 1) (???? − 1/2) ∙ 8 (???? − 1/2) (???? + 1/2)
d) ???? = 1 e ????(????) = ????4 + 4????3 − 6????2 − ???? + 1 = (???? + 1)(2???? − 1)(2???? − 1)(2???? + 1)