3) Usando o Fator integrante, resolva os problemas de valor inicial. 1. y′ − y = 2te2t, y(0) = 1; 2. y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0; 3. ty′ + 2y = t2 − ...

Para resolver esses problemas de valor inicial usando o fator integrante, siga os seguintes passos: 1. Escreva a equação diferencial na forma y' + p(t)y = q(t). 2. Encontre o fator integrante, que é dado por exp(∫p(t)dt). 3. Multiplique ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante encontrado. 4. Escreva o lado esquerdo da equação como a derivada do produto entre o fator integrante e a função y. 5. Integre ambos os lados da equação e resolva para y. 6. Use a condição inicial dada para encontrar a constante de integração. Resolvendo os problemas dados: 1. y′ − y = 2te2t, y(0) = 1; - p(t) = -1, q(t) = 2te2t - fator integrante: exp(∫-1dt) = e^(-t) - multiplicando ambos os lados por e^(-t): e^(-t)y' - e^(-t)y = 2t - derivando o produto: (e^(-t)y)' = 2t - integrando ambos os lados: e^(-t)y = t^2 + C - usando a condição inicial: e^0 * 1 = 0 + C, C = 1 - solução: y = te^t + e^t 2. y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0; - p(t) = 2, q(t) = te^(-2t) - fator integrante: exp(∫2dt) = e^(2t) - multiplicando ambos os lados por e^(2t): e^(2t)y' + 2e^(2t)y = te^t - derivando o produto: (e^(2t)y)' = te^t - integrando ambos os lados: e^(2t)y = ∫te^t dt + C - usando a condição inicial: e^2 * 0 = ∫e^t dt + C, C = -1/2 - solução: y = (1/2)(t-2)e^(-2t) 3. ty′ + 2y = t^2 − t+ 1, y(1) = 1/2, t > 0; - p(t) = 2/t, q(t) = t - 1/t + 1/t^2 - fator integrante: exp(∫2/t dt) = t^2 - multiplicando ambos os lados por t^2: t^3y' + 2t^2y = t^4 - t^3 + t^2 - derivando o produto: (t^3y)' = t^4 - t^3 + t^2 - integrando ambos os lados: t^3y = (1/5)t^5 - (1/4)t^4 + (1/3)t^3 + C - usando a condição inicial: t^3(1/2) = (1/5)t^5 - (1/4)t^4 + (1/3)t^3 + C, C = -1/30 - solução: y = (1/5)t^2 - (1/4)t + (1/3) - (1/30t^3) 4. y′ + 2/t y = cost/t^2, y(π) = 0, t > 0; - p(t) = 2/t, q(t) = cos(t)/t^2 - fator integrante: exp(∫2/t dt) = t^2 - multiplicando ambos os lados por t^2: t^2y' + 2ty = cos(t) - derivando o produto: (t^2y)' = t^2cos(t) - integrando ambos os lados: t^2y = t^2sin(t) + 2tcos(t) - 2sin(t) + C - usando a condição inicial: π^2 * 0 = π^2 - 2 + C, C = 2 - π^2 - solução: y = sin(t) + (2/π)cos(t) - (2/π^2)t^(-2) - 1 5. y′ − 2y = e2t, y(0) = 2; - p(t) = -2, q(t) = e^(2t) - fator integrante: exp(∫-2dt) = e^(-2t) - multiplicando ambos os lados por e^(-2t): e^(-2t)y' - 2e^(-2t)y = 1 - derivando o produto: (e^(-2t)y)' = e^(-2t) - integrando ambos os lados: e^(-2t)y = (-1/2)e^(-2t) + C - usando a condição inicial: e^0 * 2 = (-1/2)e^0 + C, C = 5/2 - solução: y = (5/2)e^(2t) - (1/2) 6. ty′ + 2y = sen(t), y(π/2) = 1; - p(t) = 2/t, q(t) = sin(t)/t - fator integrante: exp(∫2/t dt) = t^2 - multiplicando ambos os lados por t^2: t^3y' + 2t^2y = t^2sin(t) - derivando o produto: (t^3y)' = t^2sin(t) - integrando ambos os lados: t^3y = -t^2cos(t) + 2sin(t) + C - usando a condição inicial: (π/2)^3 * 1 = -((π/2)^2)/2 + 2 + C, C = (π^3)/16 - 2 - solução: y = (-cos(t)/t) + (2/t^3) + (π^3 - 32)/(16t^3)