Encontre a solução para os problemas de valor inicial dados. (a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1 (b) y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0 (c) ty′ + 2y = t2 − t + 1, ...

Vamos resolver cada um dos problemas de valor inicial dados: (a) y′ − y = 2te^2t, y(0) = 1: Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o método do fator integrante. Primeiro, multiplicamos toda a equação por e^(-t): e^(-t)y′ − e^(-t)y = 2te^t Agora, podemos reescrever a equação como: (e^(-t)y)' = 2te^t Integrando ambos os lados em relação a t, temos: ∫(e^(-t)y)' dt = ∫2te^t dt e^(-t)y = ∫2te^t dt Para resolver a integral à direita, podemos usar integração por partes. Aplicando esse método, encontramos: e^(-t)y = 2te^t - 2∫e^t dt e^(-t)y = 2te^t - 2e^t + C Agora, dividimos toda a equação por e^(-t) para isolar y: y = 2t - 2e^t + Ce^t Substituindo o valor inicial y(0) = 1, encontramos o valor de C: 1 = 0 - 2 + C C = 3 Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: y = 2t - 2e^t + 3e^t (b) y′ + 2y = te^(-2t), y(1) = 0: Nesse caso, também podemos usar o método do fator integrante. Multiplicando toda a equação por e^(2t): e^(2t)y′ + 2e^(2t)y = te^t Reescrevendo a equação, temos: (e^(2t)y)' = te^t Integrando ambos os lados em relação a t, temos: ∫(e^(2t)y)' dt = ∫te^t dt e^(2t)y = ∫te^t dt Resolvendo a integral à direita, encontramos: e^(2t)y = (t - 1)e^t + C Dividindo toda a equação por e^(2t) para isolar y, temos: y = (t - 1)e^t + Ce^(-2t) Substituindo o valor inicial y(1) = 0, encontramos o valor de C: 0 = (1 - 1)e + Ce^(-2) 0 = C - e^(-2) C = e^(-2) Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: y = (t - 1)e^t + e^(-2)e^(-2t) y = (t - 1)e^t + e^(-t) (c) ty′ + 2y = t^2 - t + 1, y(1) = 12, t > 0: Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o método do fator integrante. Multiplicando toda a equação por 1/t: y' + (2/t)y = (t - 1/t + 1/t^2) Agora, podemos reescrever a equação como: (ty)' = (t - 1/t + 1/t^2) Integrando ambos os lados em relação a t, temos: ∫(ty)' dt = ∫(t - 1/t + 1/t^2) dt ty = (t^2/2) - ln|t| - 1/t + C Dividindo toda a equação por t, temos: y = (t/2) - (ln|t|)/t - 1/t^2 + C/t Substituindo o valor inicial y(1) = 12, encontramos o valor de C: 12 = (1/2) - ln(1) - 1/1^2 + C/1 12 = 1/2 - 1 + C 12 = -1/2 + C C = 12 + 1/2 C = 25/2 Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: y = (t/2) - (ln|t|)/t - 1/t^2 + (25/2)/t y = (t/2) - (ln|t|)/t - 1/t^2 + (25/2t)