2) Em cada problema, usando o método “fa-tor integrante” determine a solução geral para a equação diferencial dada e use-a para determinar com...

Para resolver essas equações diferenciais usando o método do fator integrante, siga os seguintes passos: 1. Escreva a equação na forma y' + p(t)y = q(t). 2. Encontre o fator integrante, que é dado por exp(∫p(t)dt). 3. Multiplique ambos os lados da equação pelo fator integrante encontrado. 4. Escreva o lado esquerdo da equação como a derivada do produto entre o fator integrante e y. 5. Integre ambos os lados da equação e encontre a solução geral. 6. Use a solução geral para determinar como as soluções se comportam quando t → ∞. 1. y′ + 3y = t+ e−2t Fator integrante: exp(∫3dt) = e^(3t) Multiplicando ambos os lados por e^(3t): e^(3t)y' + 3e^(3t)y = te^(3t) + e^(t) Escrevendo o lado esquerdo como a derivada do produto: (e^(3t)y)' = te^(3t) + e^(t) Integrando ambos os lados: e^(3t)y = (1/3)te^(3t) + (1/9)e^(3t) + C y = (1/3)t + (1/9)e^(-3t) + Ce^(-3t) Quando t → ∞, a solução tende a (1/3)t. 2. y′ + y = te−t + 1 Fator integrante: exp(∫1dt) = e^t Multiplicando ambos os lados por e^t: e^ty' + e^ty = te^(-t)e^t + e^t Escrevendo o lado esquerdo como a derivada do produto: (e^ty)' = te^0 + e^t Integrando ambos os lados: e^ty = t + e^t + C y = (t/e^t) + 1 + Ce^(-t) Quando t → ∞, a solução tende a 1. 3. y′ − 2y = 3et Fator integrante: exp(∫-2dt) = e^(-2t) Multiplicando ambos os lados por e^(-2t): e^(-2t)y' - 2e^(-2t)y = 3 Escrevendo o lado esquerdo como a derivada do produto: (e^(-2t)y)' = 3 Integrando ambos os lados: e^(-2t)y = 3t + C y = 3e^(2t)t + Ce^(2t) Quando t → ∞, a solução tende a infinito. 4. y′ + 2ty = 2te−t2 Fator integrante: exp(∫2tdt) = e^(t^2) Multiplicando ambos os lados por e^(t^2): e^(t^2)y' + 2te^(t^2)y = 2t Escrevendo o lado esquerdo como a derivada do produto: (e^(t^2)y)' = 2t Integrando ambos os lados: e^(t^2)y = t^2 + C y = t^2e^(-t^2) + Ce^(-t^2) Quando t → ∞, a solução tende a zero. 5. 2y′ + y = 3t Fator integrante: exp(∫1/2dt) = e^(t/2) Multiplicando ambos os lados por e^(t/2): 2e^(t/2)y' + e^(t/2)y = 3te^(t/2) Escrevendo o lado esquerdo como a derivada do produto: (2e^(t/2)y)' = 3te^t Integrando ambos os lados: 2e^(t/2)y = (3/2)te^t - (3/4)e^t + C y = (3/4)t - (3/8)e^(-t/2) + Ce^(-t/2) Quando t → ∞, a solução tende a (3/4)t. 6. y′ + y = 5sen(2t) Fator integrante: exp(∫1dt) = e^t Multiplicando ambos os lados por e^t: e^ty' + e^ty = 5e^tsen(2t) Escrevendo o lado esquerdo como a derivada do produto: (e^ty)' = 5e^tsen(2t) Integrando ambos os lados: e^ty = (-5/4)cos(2t) + (5/8)sen(2t) + C y = (-5/4)cos(t) + (5/8)sen(t) + Ce^(-t) Quando t → ∞, a solução tende a zero.