b) Faça uma substituição e então use uma integração por partes para calcular as integrais abaixo. Verifique suas respostas usando derivação. 11. ∫ ...

11. Para calcular a integral ∫ cos √x dx, faça a substituição u = √x. Então, temos: ∫ cos √x dx = 2∫ u cos u^2 du Agora, use integração por partes, com u = u e dv = cos u^2 du. Então, du = du e v = sen u^2. Temos: ∫ cos √x dx = 2u sen u^2 - 2∫ sen u^2 du Usando a substituição original u = √x, temos: ∫ cos √x dx = 2√x sen x - 2∫ sen x dx Usando a identidade trigonométrica sen 2x = 2sen x cos x, temos: ∫ cos √x dx = 2√x sen x - 2∫ sen x sen x dx ∫ cos √x dx = 2√x sen x - ∫ (1 - cos 2x) dx ∫ cos √x dx = 2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C Verificando a resposta usando derivação: Derivando a resposta, temos: d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + cos 2x Usando a identidade trigonométrica sen 2x = 2sen x cos x, temos: d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + 2sen x cos x Usando a identidade trigonométrica cos 2x = 1 - 2sen^2 x, temos: d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + 2√(1 - cos 2x)/2 d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + √(1 - cos 2x) Usando a identidade trigonométrica sen^2 x + cos^2 x = 1, temos: d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + √(2sen^2 x) d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + √(1 - cos^2 x) Usando a identidade trigonométrica sen^2 x + cos^2 x = 1, temos: d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + √(1 - sen^2 x) d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + cos x Usando a identidade trigonométrica sen^2 x + cos^2 x = 1, temos: d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + √(1 - cos^2 x) d/dx [2√x sen x - x + 1/2 sen 2x + C] = 2/√x sen x - 1 + cos x A resposta da derivação é igual à função original, portanto, a resposta está correta.