Determine os pontos da curvas definidas pelas equações a seguir cujas retas tangentes são paralelas à reta definida pela equação y = x + 2: a...

Para determinar os pontos das curvas definidas pelas equações a seguir cujas retas tangentes são paralelas à reta definida pela equação y = x + 2, é necessário encontrar a derivada das equações e igualá-las a 1, que é a inclinação da reta y = x + 2. a) x2 − 4x + y2 = −2 Derivando em relação a x, temos: 2x - 4 + 2y * dy/dx = 0 dy/dx = (4 - 2x) / 2y Igualando a derivada a 1, temos: (4 - 2x) / 2y = 1 4 - 2x = 2y y = 2 - x/2 Substituindo y na equação original, temos: x2 - 4x + (2 - x/2)2 = -2 9x2 - 32x + 36 = 0 x1 = 2 e x2 = 2/3 Substituindo x na equação de y, temos: Para x1 = 2, y1 = 1 Para x2 = 2/3, y2 = 7/6 Portanto, os pontos são (2, 1) e (2/3, 7/6). b) x2 + xy + y2 = 1 Derivando em relação a x, temos: 2x + y + 2xy * dy/dx = 0 dy/dx = -(2x + y) / (2xy) Igualando a derivada a 1, temos: -(2x + y) / (2xy) = 1 y = -2x - 2xy y = -2x / (1 + 2x) Substituindo y na equação original, temos: x2 + x(-2x / (1 + 2x)) + (-2x / (1 + 2x))2 = 1 -x4 - 2x3 + 3x2 + 4x - 4 = 0 x1 = -1 e x2 = 2/3 Substituindo x na equação de y, temos: Para x1 = -1, y1 = 1 Para x2 = 2/3, y2 = -4/5 Portanto, os pontos são (-1, 1) e (2/3, -4/5).