Para determinar o limite da função \( f(x, y) = \frac{xy \cos(y)}{3x^2 + y^2} \) quando \( (x, y) \) se aproxima de \( (0, 0) \), precisamos analisar o comportamento da função em diferentes caminhos de aproximação. 1. Caminho \( y = 0 \): \[ f(x, 0) = \frac{x \cdot 0 \cdot \cos(0)}{3x^2 + 0^2} = 0 \] 2. Caminho \( x = 0 \): \[ f(0, y) = \frac{0 \cdot y \cdot \cos(y)}{3 \cdot 0^2 + y^2} = 0 \] 3. Caminho \( y = kx \) (onde \( k \) é uma constante): \[ f(x, kx) = \frac{x(kx) \cos(kx)}{3x^2 + (kx)^2} = \frac{kx^2 \cos(kx)}{(3 + k^2)x^2} = \frac{k \cos(kx)}{3 + k^2} \] Quando \( x \to 0 \), \( \cos(kx) \to 1 \), então: \[ f(x, kx) \to \frac{k}{3 + k^2} \] O limite depende do valor de \( k \), o que indica que o limite não é único. Dado que o limite depende do caminho de aproximação, podemos concluir que o limite não existe. Portanto, a alternativa correta é: c. O limite não existe.