Cálculo IV - Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – AP3 – Gabarito
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Calcule a massa da chapa D com a forma da regia˜o situada no primeiro
quadrante, limitada por y = 4− x2, eixo x e o eixo y, considerando a densidade igual a x.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o da chapa D esta´ representado na figura que se segue.
x
y
D
entra em y = 0
sai em y = 4− x2
2
4
Descrevendo D como uma regia˜o do tipo I, temos D :
{
0 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 4− x2 .
Como M =
∫∫
D
δ(x, y) dxdy e δ(x, y) = x enta˜o:
M =
∫∫
D
x dxdy =
∫
2
0
∫
4−x2
0
x dydx =
∫
2
0
x(4− x2) dx =
=
∫
2
0
(4x− x3) dx =
[
4x2
2
− x
4
4
]2
0
= 8− 4 = 4 u.m.
Questa˜o 2 [2,0 pts]: Calcule a integral de linha
∮
C
− y dx + x dy onde C e´ a circunfereˆncia
x2 + y2 = 1, no sentido anti-hora´rio, por dois me´todos:
a) (1,0 pt) diretamente (por definic¸a˜o);
b) (1,0 pt) utilizando o teorema de Green.
Soluc¸a˜o:
a) O esboc¸o de C esta´ representado na figura que se segue.
Ca´lculo IV AP3 – Gabarito 2
x
y
C
1
1
Uma parametrizac¸a˜o de C, no sentido anti-hora´rio, e´ dada por γ(t) = (cos t, sen t), com 0 ≤ t ≤ 2π.
Logo, γ′(t) = (− sen t, cos t). Seja ~F = (−y, x) de classe C1 em R2. Temos:
∫
C
~F · d~r =
∫
2pi
0
~F (γ(t)) · γ′(t) dt =
∫
2pi
0
~F (cos t, sen t) · γ′(t) dt =
=
∫
2pi
0
(− sen t, cos t) · (− sen t, cos t) dt =
=
∫
2pi
0
(
sen2 + cos2 t︸ ︷︷ ︸
= 1
)
dt =
∫
2pi
0
dt = 2π .
b) Seja D a regia˜o compacta limitada por C.
x
y
D
C = ∂D
1
1
Como ~F = (P,Q) = (−y, x) e´ de classe C1 em R2 e C = ∂D (fronteira de D) esta´ orientada
positivamente enta˜o, pelo teorema de Green, temos:∫
C
~F · d~n =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy =
∫∫
D
[1− (−1)] dxdy =
=
∫∫
D
2 dxdy = 2
∫∫
D
dxdy = 2A(D) = 2(π · 12) = 2π .
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Ca´lculo IV AP3 – Gabarito 3
Questa˜o 3 [2,0 pts]: Encontre a massa de uma mola com a forma da he´lice circular
C : γ(t) = (
√
2 cos t) ~i + (
√
2 sen t) ~j + (2t) ~k
com 0 ≤ t ≤ 2π, onde a densidade da mola e´ dada por δ(x, y, z) = x2 + y2.
Soluc¸a˜o: A massa da mola C e´ dada por
M =
∫
C
δ(x, y, z) ds =
∫
C
(x2 + y2) ds
onde ds =
∣∣∣∣γ′(t)∣∣∣∣dt sendo γ′(t) = (−√2 sen t,√2 cos t, 2) e ∣∣∣∣γ′(t)∣∣∣∣ = √2 sen2 +2 cos2 t︸ ︷︷ ︸
= 2
+4 =
=
√
6 , donde ds =
√
6 dt. Logo:
M =
∫
2pi
0
[
(
√
2 cos t)2 + (
√
2 sen t)2
]√
6 dt =
=
√
6
∫
2pi
0
(
2 cos2 t+ 2 sen2 t
)
dt =
√
6
∫
2pi
0
2 dt =
= 2
√
6
∫
2pi
0
dt = 4π
√
6 u.m.
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Seja o campo vetorial ~F (x, y, z) = (xy2, yz2, zx2).
a) (0,5 pt) Determine o divergente de ~F .
b) (1,5 pts) Determine o fluxo de ~F atrave´s da superf´ıcie S do so´lido W limitado pela semi-esfera
x2 + y2 + z2 = 1, com z ≥ 0 e o plano z = 0, orientada com ~n exterior a W .
Soluc¸a˜o:
a) Temos que
~F = (P,Q,R) =
(
xy2, yz2, zx2
)
.
Como
div~F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
enta˜o:
div~F = y2 + z2 + x2 = x2 + y2 + z2 .
b) O esboc¸o da superf´ıcie S = ∂W esta´ representado na figura que se segue.
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Ca´lculo IV AP3 – Gabarito 4
x
y
z
S = ∂W
~n
~n
1
1
1
Como estamos nas condic¸o˜es do teorema de Gauss, enta˜o:∫∫
S=∂W
~F · ~ndS =
∫∫∫
W
div~F dV =
∫∫∫
W
(
x2 + y2 + z2
)
dV .
Passando para coordenadas esfe´ricas, temos:


x = ρ senφ cos θ
y = ρ senφ sen θ
z = ρ cosφ
dV = ρ2 senφ dρdφdθ
x2 + y2 + z2 = ρ2
.
O conjunto W em coordenadas esfe´ricas e´
Wρφθ :


0 ≤ ρ ≤ 1
0 ≤ φ ≤ π/2
0 ≤ θ ≤ 2π
.
Enta˜o: ∫∫
S
~F · ~ndS =
∫∫∫
Wρφθ
ρ2 · ρ2 senφ dρdφdθ =
=
∫∫∫
Wρφθ
ρ4 senφ dρdφdθ =
∫ pi/2
0
senφ
∫
1
0
ρ4
∫
2pi
0
dθdρdφ =
= 2π
∫ pi/2
0
senφ
∫
1
0
ρ4 dρdφ = 2π
[
ρ5
5
]1
0
∫ pi/2
0
senφ dφ =
=
2π
5
∫ pi/2
0
senφ dφ =
2π
5
[
− cosφ
]pi/2
0
=
=
−2π
5
(0− 1) = 2π
5
.
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Ca´lculo IV AP3 – Gabarito 5
Questa˜o 5 [2,0 pts]: Seja o campo de forc¸as
~F (x, y, z) = (yz + y, xz + x+ z, xy + y) .
a) (0,5 pt) Calcule o rotacional de ~F .
b) (0,7 pt) ~F e´ conservativo? Caso afirmativo, calcule uma func¸a˜o potencial de ~F .
c) (0,8 pt) Calcule o trabalho realizado por ~F para deslocar uma part´ıcula ao longo do segmento
de reta que liga o ponto A = (0, 0, 0) ao ponto B = (1, 1, 1), orientada de A para B.
Soluc¸a˜o:
a) Temos:
rot~F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
yz + y xz + x+ z xy + y
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
= ((x− 1)− (x− 1), y − y, (z + 1)− (z + 1)) = (0, 0, 0) = ~0 .
b) Como ~F e´ de classe C1 em R3, que e´ um conjunto simplesmente conexo e rot ~F = ~0 enta˜o, pelo
teorema das equivaleˆncias, segue que ~F e´ conservativo. Logo, ~F admite uma func¸a˜o ϕ(x, y, z) tal
que ∇ϕ = ~F em R3, isto e´,
∂ϕ
∂x
= yz + y
∂ϕ
∂y
= xz + x+ z
∂ϕ
∂z
= xy + y
donde
ϕ(x, y, z) =
∫
∂ϕ
∂x
dx =
∫
(yz + y) dx = xyz + xy + f(y, z)
ϕ(x, y, z) =
∫
∂ϕ
∂y
dx =
∫
(xz + x+ z) dy = xyz + xy + yz + g(x, z)
ϕ(x, y, z) =
∫
∂ϕ
∂z
dx =
∫
(xy + y) dz = xyz + yz + h(x, y)
onde f(y, z), g(x, z) e h(x, y) sa˜o “constantes” de integrac¸a˜o.
Para encontrar a mesma expressa˜o para ϕ(x, y, z), devemos tomar f(y, z) = yz, g(x, z) = 0 e
h(x, y) = xy. Enta˜o:
ϕ(x, y, z) = xyz + xy + yz
e´ uma func¸a˜o potencial de ~F .
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Ca´lculo IV AP3 – Gabarito 6
c) O trabalho e´ dado por W =
∫
C
~F · d~r. Pelo teorema fundamental do ca´lculo para integrais de
linha temos:
W =
∫
C
~F · d~r = ϕ(1, 1, 1)− ϕ(0, 0, 0) = (1 + 1 + 1)− 0 = 3 u.w.
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