Mostre que a substituição x = et transforma a equação x2 d2y/dx2 + ax dy/dx + by = 0, a e b constantes e x > 0, em uma equação com coeficient...

Começando pela primeira parte da pergunta, para mostrar que a substituição x = et transforma a equação x²(d²y/dx²) + a(dy/dx) + by = 0 em uma equação com coeficientes constantes, basta substituir x por et e fazer as devidas derivações em relação a t. Começando pela primeira derivada, temos: dy/dx = dy/dt * dt/dx Como x = et, temos que dx/dt = e^t, logo: dy/dx = dy/dt * (1/e^t) Agora, derivando novamente em relação a t, temos: d²y/dx² = d/dx (dy/dx) = d/dt (dy/dx) * dt/dx Substituindo as derivadas que já encontramos, temos: d²y/dx² = d/dt (dy/dx) * (1/e^t) d²y/dx² = d/dt (dy/dt * (1/e^t)) * (1/e^t) d²y/dx² = (d²y/dt² * (1/e^t)^2) - (dy/dt * (1/e^t)^2) d²y/dx² = (d²y/dt² - dy/dt) * (1/e^2t) Substituindo essas derivadas na equação original, temos: (et)²(d²y/dt² - dy/dt) * (1/e^2t) + a(dy/dt * (1/e^t)) + by = 0 Simplificando, temos: d²y/dt² + (a-2)dy/dt + b*y = 0 Que é uma equação com coeficientes constantes. Agora, para resolver a equação x²(d²y/dx²) + 2x(dy/dx) - 6y = (lnx)², podemos utilizar a substituição x = et. Substituindo na equação, temos: (e²t)(d²y/dt² - dy/dt) + 2e^t(dy/dt) - 6y = (ln(e^t))² Simplificando, temos: d²y/dt² - dy/dt + 2dy/dt - 6y = t² d²y/dt² - dy/dt - 6y = t² Agora, podemos resolver essa equação utilizando o método da equação característica. A equação característica é d²r/dr² - dr/dr - 6 = 0, que tem raízes r1 = 3 e r2 = -2. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh(t) = c1e^(3t) + c2e^(-2t). Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos utilizar o método dos coeficientes a determinar. Supondo uma solução particular da forma yp(t) = At² + Bt + C, temos: d²y/dt² - dy/dt - 6y = t² Substituindo a solução particular na equação, temos: 2A - 2At - 6At² - 2B + 6Bt - 6C = t² Igualando os coeficientes de t², t e o termo constante, temos: -6A = 1 -2B + 6A = 0 2A - 6C = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos A = -1/6, B = -1/3 e C = -1/18. Portanto, a solução particular da equação não homogênea é yp(t) = (-1/6)t² - (1/3)t - (1/18). Assim, a solução geral da equação é y(t) = yh(t) + yp(t) = c1e^(3t) + c2e^(-2t) - (1/6)t² - (1/3)t - (1/18). Substituindo x = et, temos a solução da equação original em função de x.