Seja R a região limitada pela parábola y = 4x− x2 e pela reta y = 0. A região R gira em torno da reta x = 5 e forma o sólido S. (a) Indique com...

(a) Para calcular o volume de S pelo método das cascas cilíndricas, devemos integrar a área da superfície gerada pela rotação da região R em torno do eixo x = 5. A área da superfície é dada por 2πxh, onde x é a distância entre o eixo x = 5 e a parábola y = 4x - x², e h é a altura da casca cilíndrica. Temos que h = 4x - x², e x varia de 1 a 4. Portanto, o volume de S é dado por: V = ∫(de 1 até 4) 2πx(4x - x²)dx V = 64π/3 (b) Para calcular o volume de S pelo método das arruelas, devemos integrar a área da seção transversal de S em relação ao eixo x = 5. A área da seção transversal é dada por πr², onde r é a distância entre o eixo x = 5 e a parábola y = 4x - x². Temos que r = 5 - x, e x varia de 1 a 4. Portanto, o volume de S é dado por: V = ∫(de 1 até 4) π(5 - x)²dx V = 64π/3 (c) Como os resultados dos itens (a) e (b) são iguais, temos que vol(S) = 64π.