Para calcular a distância entre duas retas reversas \( r_1 \) e \( r_2 \), podemos usar a fórmula: \[ d = \frac{|(\mathbf{a_2} - \mathbf{a_1}) \cdot (\mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2})|}{|\mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2}|} \] onde: - \( \mathbf{a_1} \) e \( \mathbf{a_2} \) são os vetores posição das retas \( r_1 \) e \( r_2 \), - \( \mathbf{b_1} \) e \( \mathbf{b_2} \) são os vetores diretores das retas. Para as retas dadas: - \( r_1: (1,1,1) + \lambda(0,1,2) \) → \( \mathbf{a_1} = (1,1,1) \) e \( \mathbf{b_1} = (0,1,2) \) - \( r_2: (2,-1,3) + \mu(2,-1,3) \) → \( \mathbf{a_2} = (2,-1,3) \) e \( \mathbf{b_2} = (2,-1,3) \) Agora, vamos calcular \( \mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2} \): \[ \mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 3 - 2 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(0 \cdot 3 - 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(3 + 2) - \mathbf{j}(-4) - \mathbf{k}(2) = 5\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \] Agora, calculamos \( |\mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2}| \): \[ |\mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2}| = \sqrt{5^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 16 + 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] Agora, calculamos \( \mathbf{a_2} - \mathbf{a_1} \): \[ \mathbf{a_2} - \mathbf{a_1} = (2,-1,3) - (1,1,1) = (1,-2,2) \] Agora, calculamos o produto escalar \( (\mathbf{a_2} - \mathbf{a_1}) \cdot (\mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2}) \): \[ (1,-2,2) \cdot (5,4,-2) = 1 \cdot 5 + (-2) \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 5 - 8 - 4 = -7 \] Agora, substituímos na fórmula da distância: \[ d = \frac{| -7 |}{3\sqrt{5}} = \frac{7}{3\sqrt{5}} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( d = d(r_1,r_2) = \frac{7\sqrt{5}}{15} \) B) \( d = d(r_1,r_2) = \frac{\sqrt{5}}{15} \) C) \( d = d(r_1,r_2) = 15 \) D) \( d = d(r_1,r_2) = \frac{7\sqrt{5}}{5} \) E) \( d = d(r_1,r_2) = 7 \) A alternativa correta é a A) \( d = d(r_1,r_2) = \frac{7\sqrt{5}}{15} \).