Considere a Matriz A: (22) 21 al Mostre que a matriz A é diagonalizável b) Encontre uma matriz S tal que A = SxDx5" onde Dé uma triz diagonal C...

a) Para mostrar que a matriz A é diagonalizável, precisamos verificar se ela possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Calculando os autovalores de A, temos: det(A - λI) = 0 |22 - λ 21| |21 - λ| = 0 (22 - λ)(-λ) - (21)(21) = 0 λ² - 22λ + 43 = 0 λ1 = 11 + 2√6 λ2 = 11 - 2√6 Portanto, A possui dois autovalores distintos. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para λ1 = 11 + 2√6, temos: (22 - λ1)x + 21y = 0 21x + (21 - λ1)y = 0 Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor v1 = (1, -1 + √6). Para λ2 = 11 - 2√6, temos: (22 - λ2)x + 21y = 0 21x + (21 - λ2)y = 0 Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor v2 = (1, -1 - √6). Como os autovetores são linearmente independentes, a matriz A é diagonalizável. b) Para encontrar a matriz S, precisamos colocar os autovetores de A em colunas e formar a matriz S. Temos: S = (1 1) (-1 + √6 -1 - √6) Agora, precisamos encontrar a matriz diagonal D. Como os autovetores de A formam uma base para R², podemos escrever: A = S.D.S^-1 Multiplicando ambos os lados por S^-1, temos: S^-1.A.S = D Como já calculamos S, basta calcular S^-1 e fazer as multiplicações. Temos: S^-1 = (1/2 1/(2√6)) (1/2 -1/(2√6)) S^-1.A.S = (11 + 2√6 0) (0 11 - 2√6) Portanto, D = (11 + 2√6 0) (0 11 - 2√6) c) Para encontrar A^20, precisamos usar a diagonalização de A. Temos: A = S.D.S^-1 A^20 = (S.D.S^-1)^20 A^20 = S.D^20.S^-1 Como D é diagonal, basta elevar cada elemento da diagonal a 20. Temos: D^20 = (11 + 2√6)^20 0 0 (11 - 2√6)^20 Substituindo na equação anterior, temos: A^20 = S.(11 + 2√6)^20 0.S^-1 0 (11 - 2√6)^20 Basta calcular as potências dos autovalores e fazer as multiplicações.