Observando a função do integrando, utilize uma técnica de integração mais adequada e encontre a primitiva de f(x). Sendo F(x)= integral x ao quadr...

Para encontrar a primitiva de f(x) = x²e^(x³), podemos utilizar a técnica de substituição trigonométrica. Fazendo a substituição u = x³, temos du/dx = 3x², o que nos leva a dx = du/3x². Substituindo na integral, temos: integral x²e^(x³) dx = integral e^u * (1/3x²) du Podemos simplificar a expressão 1/3x² para 1/3u^(2/3). Assim, temos: integral e^u * (1/3u^(2/3)) du Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica de integração por partes, com u = u^(2/3) e dv = e^u du. Temos: integral e^u * (1/3u^(2/3)) du = (1/3) * integral u^(-1/3) * e^u du Fazendo a integração por partes, temos: (1/3) * integral u^(-1/3) * e^u du = (1/3) * (u^(-1/3) * e^u - (2/3) * integral u^(-4/3) * e^u du) Substituindo u = x³, temos: (1/3) * integral x^(-2/3) * e^(x³) dx = (1/3) * (x^(-2/3) * e^(x³) - (2/3) * integral x^(-5/3) * e^(x³) dx) Essa última integral pode ser resolvida novamente utilizando a técnica de substituição trigonométrica. Fazendo a substituição u = x³, temos: (2/3) * integral x^(-5/3) * e^(x³) dx = (2/9) * integral e^u du Substituindo u = x³ novamente, temos: (2/9) * integral e^u du = (2/9) * e^(x³) + C Substituindo esse resultado na expressão anterior, temos: F(x) = (1/3) * (x^(-2/3) * e^(x³) - (2/9) * e^(x³)) + C Simplificando, temos: F(x) = (1/3) * e^(x³) * (3x^(-2/3) - 2/3) + C Portanto, a alternativa correta é a letra D.