Utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatur...
Cálculo III
Estudando com Questões

Question

Utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura. Em seguida, calcule o calor específico da água a 27,5 graus celsius.
Determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura.
Calcular o calor específico da água a 27,5 graus celsius.
Interpolar uma função f(x) é aproximá-la por outra função g(x), selecionada entre uma classe de funções que satisfazem certas propriedades.
Normalmente, precisamos recorrer a esta ferramenta em 2 situações: a primeira, quando são conhecidos apenas alguns valores numéricos da função para um conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; a segunda, quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis) de serem realizadas.

Ed · Answer

Para utilizar a fórmula de Lagrange, precisamos dos valores da temperatura e do calor específico da água em alguns pontos. Suponha que temos os seguintes valores:

| Temperatura (°C) | Calor específico (cal/g°C) |
|------------------|-----------------------------|
| 20               | 1,000                       |
| 25               | 1,000                       |
| 30               | 1,002                       |
| 35               | 1,006                       |
| 40               | 1,012                       |

Para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível, podemos utilizar a fórmula de Lagrange:

![Formula de Lagrange](https://i.imgur.com/5JZJZJL.png)

Onde:

- L(x) é o polinômio interpolador de Lagrange;
- xi e yi são os valores conhecidos da temperatura e do calor específico da água, respectivamente;
- n é o número de pontos conhecidos.

Aplicando a fórmula, obtemos:

L(x) = 1,000 * ((x - 25) * (x - 30) * (x - 35) * (x - 40)) / ((20 - 25) * (20 - 30) * (20 - 35) * (20 - 40)) + 
       1,000 * ((x - 20) * (x - 30) * (x - 35) * (x - 40)) / ((25 - 20) * (25 - 30) * (25 - 35) * (25 - 40)) +
       1,002 * ((x - 20) * (x - 25) * (x - 35) * (x - 40)) / ((30 - 20) * (30 - 25) * (30 - 35) * (30 - 40)) +
       1,006 * ((x - 20) * (x - 25) * (x - 30) * (x - 40)) / ((35 - 20) * (35 - 25) * (35 - 30) * (35 - 40)) +
       1,012 * ((x - 20) * (x - 25) * (x - 30) * (x - 35)) / ((40 - 20) * (40 - 25) * (40 - 30) * (40 - 35))

Para calcular o calor específico da água a 27,5 graus celsius, basta substituir x por 27,5 na fórmula de Lagrange:

L(27,5) = 1,000 * ((27,5 - 25) * (27,5 - 30) * (27,5 - 35) * (27,5 - 40)) / ((20 - 25) * (20 - 30) * (20 - 35) * (20 - 40)) + 
          1,000 * ((27,5 - 20) * (27,5 - 30) * (27,5 - 35) * (27,5 - 40)) / ((25 - 20) * (25 - 30) * (25 - 35) * (25 - 40)) +
          1,002 * ((27,5 - 20) * (27,5 - 25) * (27,5 - 35) * (27,5 - 40)) / ((30 - 20) * (30 - 25) * (30 - 35) * (30 - 40)) +
          1,006 * ((27,5 - 20) * (27,5 - 25) * (27,5 - 30) * (27,5 - 40)) / ((35 - 20) * (35 - 25) * (35 - 30) * (35 - 40)) +
          1,012 * ((27,5 - 20) * (27,5 - 25) * (27,5 - 30) * (27,5 - 35)) / ((40 - 20) * (40 - 25) * (40 - 30) * (40 - 35))

L(27,5) = 1,003 cal/g°C

Portanto, o calor específico da água a 27,5 graus celsius é de 1,003 cal/g°C.

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