480. O triângulo eqüilátero está inscrito na circunferência, conforme mostra a figura. A equação da circunferência é: a) x2 + y2 = 1/3 b) x2 + y2...

Para encontrar a equação da circunferência que circunscreve o triângulo equilátero, podemos utilizar o fato de que o centro da circunferência é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. Como o triângulo é equilátero, as mediatrizes são também as bissetrizes dos ângulos, e portanto se encontram no centro da circunferência. Podemos notar que o triângulo equilátero tem lados iguais a 2, já que cada lado é um raio da circunferência. Além disso, as mediatrizes dividem cada lado em duas partes iguais, formando um triângulo retângulo com hipotenusa igual a 2 e cateto igual a 1. Assim, podemos calcular a altura do triângulo equilátero utilizando o teorema de Pitágoras: h² = 2² - 1² h² = 3 h = √3 O centro da circunferência é o ponto de encontro das mediatrizes, que é também o ponto de encontro das alturas do triângulo equilátero. Esse ponto é equidistante dos vértices do triângulo, e portanto a distância do centro a qualquer vértice é igual ao raio da circunferência, que é 2. Podemos escolher um dos vértices do triângulo como ponto de referência, por exemplo o vértice inferior. A coordenada desse ponto é (0, -√3). Como a distância do centro a esse ponto é 2, podemos escrever a equação da circunferência na forma: (x - 0)² + (y + √3)² = 2² x² + y² + 2√3y + 3 = 4 x² + y² + 2√3y - 1 = 0 Portanto, a alternativa correta é a letra D) x² + (y - √3)² = 1/3.