b) Resolva a equação diofantina x2 + y2 = 637, x, y ∈ N.
Se x e y são inteiros positivos, então x^2 + y^2 é par se e somente se x e y são pares
Se x e y são inteiros positivos pares, então x^2 + y^2 é divisível por 4
Se x e y são inteiros positivos, então x^2 + y^2 é ímpar se e somente se x e y são ímpares
Se x e y são inteiros positivos ímpares, então x^2 + y^2 é divisível por 2, mas não por 4
637 = 7 x 13 x 7
Se x^2 + y^2 = 637, então x e y são ímpares
Se x e y são ímpares, então x^2 + y^2 é divisível por 2, mas não por 4
Logo, x^2 + y^2 é divisível por 13
Se x^2 + y^2 é divisível por 13, então x e y são divisíveis por 13
Seja x = 13a e y = 13b
Substituindo na equação original, temos 169a^2 + 169b^2 = 637
Simplificando, temos a^2 + b^2 = 12
As únicas soluções inteiras positivas para a^2 + b^2 = 12 são (1, 3) e (3, 1)
Logo, as soluções inteiras positivas para x^2 + y^2 = 637 são (13, 39) e (39, 13)
Se x e y são inteiros positivos, então x^2 + y^2 é par se e somente se x e y são pares
Se x e y são inteiros positivos pares, então x^2 + y^2 é divisível por 4
Se x e y são inteiros positivos, então x^2 + y^2 é ímpar se e somente se x e y são ímpares
Se x e y são inteiros positivos ímpares, então x^2 + y^2 é divisível por 2, mas não por 4
637 = 7 x 13 x 7
Se x^2 + y^2 = 637, então x e y são ímpares
Se x e y são ímpares, então x^2 + y^2 é divisível por 2, mas não por 4
Logo, x^2 + y^2 é divisível por 13
Se x^2 + y^2 é divisível por 13, então x e y são divisíveis por 13
Seja x = 13a e y = 13b
Substituindo na equação original, temos 169a^2 + 169b^2 = 637
Simplificando, temos a^2 + b^2 = 12
As únicas soluções inteiras positivas para a^2 + b^2 = 12 são (1, 3) e (3, 1)
Logo, as soluções inteiras positivas para x^2 + y^2 = 637 são (13, 39) e (39, 13)
Respostas
Ed 
há 3 meses
Para resolver a equação diofantina \(x^2 + y^2 = 637\) com \(x, y \in \mathbb{N}\), vamos seguir os passos que você já mencionou. 1. Verificação da paridade: Como 637 é ímpar, \(x\) e \(y\) devem ser ímpares, pois a soma de dois quadrados é ímpar apenas se ambos os números são ímpares. 2. Divisibilidade: Como \(x^2 + y^2\) é divisível por 13, e \(637 = 7 \times 13 \times 7\), podemos concluir que \(x\) e \(y\) devem ser divisíveis por 13. 3. Substituição: Se \(x = 13a\) e \(y = 13b\), substituindo na equação original temos: \[ 169a^2 + 169b^2 = 637 \] Simplificando, obtemos: \[ a^2 + b^2 = 12 \] 4. Soluções inteiras: As únicas soluções inteiras positivas para \(a^2 + b^2 = 12\) são \((1, 3)\) e \((3, 1)\). 5. Soluções para \(x\) e \(y\): Portanto, substituindo de volta, temos: - Para \(a = 1\) e \(b = 3\): \(x = 13 \times 1 = 13\) e \(y = 13 \times 3 = 39\). - Para \(a = 3\) e \(b = 1\): \(x = 13 \times 3 = 39\) e \(y = 13 \times 1 = 13\). Assim, as soluções inteiras positivas para \(x^2 + y^2 = 637\) são \((13, 39)\) e \((39, 13)\).
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Ed
há 2 anos
As soluções inteiras positivas para a equação diofantina x² + y² = 637 são (13, 39) e (39, 13).
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Calcule as seguintes expressões:
(1,0) (a) logn[logn(n^(1/2) * n^(1/3))]
(1,0) (b) xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos é fixada arbitrariamente.
Seja f : R→ R uma função crescente, tal que f(x+ y) = f(x) · f(y) para quaisquer x, y ∈ R. Prove as seguintes afirmações:
(1,0) (a) f(x) > 0 para todo x ∈ R e f(1) > 1.
(1,0) (b) Pondo a = f(1), a função g : R → R definida por g(x) = loga f(x) é linear. (Use o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.)
(0,5) (c) Para todo x ∈ R, g(x) = x, onde g é a função definida no item (b).
(0,5) (d) f(x) = ax para todo x ∈ R.
(a) Um medicamento é administrado em uma dose de 20mg e sua quantidade no organismo se reduz a 10% da inicial. Que percentagem resta 12h após a administração? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga no sangue é exponencial.
(b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?
(c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual é a quantidade presente no organismo após 24h da primeira dose?
(a) O medicamento é administrado em uma dose de 20mg e sua quantidade no organismo se reduz a 10% da inicial.
(b) É necessário calcular em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial.
(c) É necessário calcular a quantidade presente no organismo após 24h da primeira dose de 10mg, considerando que a mesma droga foi administrada em duas doses com um intervalo de 12h.
(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.
(a) É necessário provar a fórmula tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)), desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas.
(b) É necessário mostrar que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab, levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima.
(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.
(a) É necessário provar a fórmula tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)), desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas.
(b) É necessário mostrar que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab, levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima.
No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu choque com a água no fundo do poço decorreram S segundos. Calcular a profundidade do poço. Dar a resposta em função da aceleração g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a fórmula s = g2t2 do espaço percorrido no tempo t por um corpo em queda livre que partiu do repouso.
(1,0) Calcular a profundidade do poço em função de S, g e v.
(1,0) Calcular a profundidade do poço em função de S, g e v².
Seja f : R → R uma função tal que f(0) = 0 e |f(x) − f(y)| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ R. Prove que ou f(x) = x para todo x ou então f(x) = −x seja qual for x.
f(x) = x para todo x
f(x) = -x para todo x
A população de uma cultura de bactérias, num ambiente estável e controlado, é estimada pela área que ocupa sobre uma superf́ıcie plana. Se, decorridos 20 dias, a população duplicou, então ela ficou 50% maior (a) antes de 10 dias. (b) ao completar 10 dias. (c) após 10 dias. Escolha a resposta certa e justifique sua opção.
A população ficou 50% maior antes de 10 dias
A população ficou 50% maior ao completar 10 dias
A população ficou 50% maior após 10 dias
A resposta correta é a letra (a) porque a população duplicou em 20 dias, o que significa que a cada 10 dias ela aumenta 50%, logo antes de 10 dias ela ainda não havia duplicado, mas já havia aumentado 50%
A resposta correta é a letra (b) porque a população duplicou em 20 dias, o que significa que a cada 10 dias ela aumenta 50%, logo ao completar 10 dias ela já havia duplicado e também aumentado 50%
A resposta correta é a letra (c) porque a população duplicou em 20 dias, o que significa que a cada 10 dias ela aumenta 50%, logo após 10 dias ela já havia duplicado e também aumentado 50%
Dados números reais positivos x e y, ache α e β tais que cosx · cos y = 1/2 cosα + 1/2 cosβ. Em seguida mostre como (mediante o uso de uma tabela de funções trigonométricas) esta igualdade pode ser empregada para reduzir o produto de dois números.
4. Considere a função p : [−1, 5]→ R definida por:
{3 x− x2 se −1 ≤ x < 1
||x− 2| − 1| se 1 ≤ x ≤ 5
(a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação 0,5)
(b) Determine todas as soluções reais da equação p(x) = 2. (pontuação 0,5)
(c) Determine todos os pontos de máximo e de mínimo locais e absolutos de p. (pontuação 0,5)
(d) Faça um esboço do gráfico da função q : [−1, 2]]→ R definida por:
q(x) = p(2x+ 1)− 2 .
(pontuação 0,5)
Considere a função p : [−1, 5]→ R definida por:
{
3 x− x2 se −1 6 x < 1
||x− 2| − 1| se 1 6 x 6 5
(a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação 0,5)
(b) Determine todas as soluções reais da equação p(x) = 2. (pontuação 0,5)
(c) Determine todos os pontos de máximo e de mínimo locais e absolutos de p. (pontu- ação 0,5)
(d) Faça um esboço do gráfico da função q : [−1, 2]]→ R definida por:
q(x) = p(2x+ 1)− 2 .
Mostre a partir do item anterior que a reta y = 2 intercepta o gráfico de p apenas quando x = 5.
(a) Esboço do gráfico de p
(b) Soluções da equação p(x) = 2
(c) Pontos de máximo e mínimo locais e absolutos de p
(d) Esboço do gráfico de q e demonstração de que a reta y = 2 intercepta o gráfico de p apenas quando x = 5
Considere uma reta r, um ponto A 6∈ r e três pontos B,C,D ∈ r, tais que C está entre B e D. Em cada um dos itens a seguir, decida se os dados são suficientes para determinar com certeza as medidas de:
(i) cada um dos lados do triângulo ABC;
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC.
Justifique rigorosamente as suas respostas.
(a) BC = 1 e B̂AC = 60◦;
(b) BC = 1 e ÂCD = 135◦;
(c) BC = 1, B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦;
(d) B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦.
(i) cada um dos lados do triângulo ABC
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC
a) BC = 1 e B̂AC = 60◦;
b) BC = 1 e ÂCD = 135◦;
c) BC = 1, B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦;
d) B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦.
a) (i) Sim, (ii) Sim
b) (i) Não, (ii) Sim
c) (i) Sim, (ii) Não
d) (i) Não, (ii) Não
Considere uma reta r, um ponto A 6∈ r e três pontos B,C,D ∈ r, tais que C está entre B e D. Em cada um dos itens a seguir, decida se os dados são suficientes para determinar com certeza as medidas de:
(i) cada um dos lados do triângulo ABC;
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC.
Justifique rigorosamente as suas respostas.
(a) BC = 1 e B̂AC = 60◦;
(b) BC = 1 e ÂCD = 135◦;
(c) BC = 1, B̂AC = 60◦ e ÂCD =
(i) cada um dos lados do triângulo ABC
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC
a) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
b) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
c) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i), mas não de (ii).
d) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (ii), mas não de (i).
e) Não é suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
a) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
b) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
c) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i), mas não de (ii).
d) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (ii), mas não de (i).
e) Não é suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
Determine se as afirmacoes a seguir são verdadeiras ou falsas, justificando adequadamente e em detalhes as suas respostas.
(a) Se f : R → R e g : R → R são funções monótonas crescentes, então a função soma f + g : R → R, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) é monótona crescente.
(b) Se f : R→ R é uma função limitada superiormente, então f admite um ponto de máximo absoluto.
(c) Se f : R → R admite um ponto de máximo local, então f admite um ponto de máximo absoluto.
[object Object]
[object Object]
[object Object]
Da mesma forma que se expressa um número real no sistema de numeração decimal, é possível expressá-lo em um sistema de numeração posicional qualquer, de base β ∈ N, β > 2. Dizemos que um número a ∈ R está expresso no sistema de base β se ele é escrito na forma:
a = a0 + ∞∑k=1 ak β−k em que a0 ∈ Z e os ak são dígitos entre 0 e β − 1 (incluindo-os).
(a) Mostre que, se um número x ∈ R é irracional, então x possui representação infinita em toda base β.
(b) Reciprocamente, mostre que, se um número x ∈ R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional.
[object Object]
[object Object]
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(A) 210
(B) 120
(C) 740
(D) 216
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