No triângulo ABC a bissetriz do ângulo BAC encontra o lado BC em D. a) Prove que DB = DC / AB = AC (teorema da bissetriz interna). b) Use o teore...

a) Para provar que DB = DC / AB = AC, podemos usar a semelhança de triângulos. Temos que o triângulo ABD é semelhante ao triângulo ACD, pois ambos possuem o ângulo A em comum e os ângulos B e C são congruentes, já que a bissetriz divide o ângulo A em dois ângulos iguais. Portanto, temos: DB/AB = BD/AD DC/AC = CD/AD Como BD = CD (pois D é o ponto médio de BC), podemos igualar as duas equações acima e obter: DB/AB = DC/AC Multiplicando ambos os lados por AB.AC, temos: DB.AC = DC.AB Dividindo ambos os lados por BC, temos: DB = DC/AB = AC b) Usando o teorema da bissetriz interna, temos que: DB = DC / AB = AC Podemos usar a lei dos senos no triângulo ABD para encontrar BD em termos de AB e AD: sen(15°)/BD = sen(BAD)/AB sen(BAD) = sen(165°) = -sen(15°) Substituindo na equação acima, temos: sen(15°)/BD = -sen(15°)/AB BD = -AB Usando a lei dos senos no triângulo ABD novamente, podemos encontrar AD em termos de AB e BD: sen(15°)/BD = sen(ABD)/AD sen(ABD) = sen(165°-B) = sen(165°-2*15°) = sen(135°) = -sqrt(2)/2 Substituindo na equação acima, temos: sen(15°)/(-AB) = (-sqrt(2)/2)/AD AD = sqrt(2)*AB/(2sen(15°)) Finalmente, podemos usar a tangente de 15°: tan(15°) = sen(15°)/cos(15°) cos(15°) = cos(45°-30°) = (sqrt(2)+sqrt(6))/4 Substituindo na equação acima, temos: tan(15°) = sen(15°)/[(sqrt(2)+sqrt(6))/4] tan(15°) = 2*(sqrt(3)-1)