Seja a transformação linear T : IR4 → IR3 tal que T (e1) = (0,0,1),T(e2) = (1,2,1),T(e3) = (−2,1,−1) e T (e4) = (1,1,1), onde {e1,e2,e3,e4} é a ...

a) Para encontrar T(x,y,z,t), basta aplicar a transformação linear T em cada vetor da base canônica de IR4 e escrever o resultado como combinação linear dos vetores da base canônica de IR3. Assim, temos: T(x,y,z,t) = T(xe1 + ye2 + ze3 + te4) = xT(e1) + yT(e2) + zT(e3) + tT(e4) T(x,y,z,t) = x(0,0,1) + y(1,2,1) + z(-2,1,-1) + t(1,1,1) T(x,y,z,t) = (y-2z+t, 2y+z+t, x+y-z+t) b) Para encontrar o núcleo de T, precisamos encontrar o conjunto de vetores (x,y,z,t) em IR4 que são mapeados em (0,0,0) em IR3. Assim, temos que resolver o sistema de equações: y - 2z + t = 0 2y + z + t = 0 x + y - z + t = 0 Podemos usar eliminação gaussiana para resolver esse sistema: 1 -2 1 1 | 0 0 2 5 -1 | 0 0 0 3 3 | 0 A última linha nos dá a equação 3z + 3t = 0, ou seja, z = -t. Substituindo em uma das outras equações, temos y = 2t. Substituindo em outra equação, temos x = -3t. Portanto, o conjunto-solução é {(x,y,z,t) ∈ IR4; x = -3t, y = 2t, z = -t, t ∈ IR}. Podemos escrever isso como {(x,y,z,t) ∈ IR4; x = -z, y = -3z, t = z}, ou seja, o núcleo de T é gerado pelo vetor (-1,-3,1,5).