37. UFR-RJ Dentre os conjuntos abaixo, o que está contido no conjunto solução da equação sen²(x³ + 7x² + x + 1) + cos²(x³ + 5x² + 2) = 1 é: A equa...

37. UFR-RJ Dentre os conjuntos abaixo, o que está contido no conjunto solução da equação sen²(x³ + 7x² + x + 1) + cos²(x³ + 5x² + 2) = 1 é:

A equação dada é equivalente a sen²(x³ + 7x² + x + 1) = sin²(x³ + 5x² + 2).
Utilizando a identidade trigonométrica, temos: sen²(x) = (1 - cos(2x))/2.
Substituindo, temos: (1 - cos(2(x³ + 7x² + x + 1))))/2 = (1 - cos(2(x³ + 5x² + 2))))/2.
Simplificando, temos: cos(2(x³ + 7x² + x + 1))) = cos(2(x³ + 5x² + 2))).
Utilizando a identidade trigonométrica, temos: cos(2x) = 2cos²(x) - 1.
Substituindo, temos: 2cos²(2(x³ + 7x² + x + 1))) - 1 = 2cos²(2(x³ + 5x² + 2))) - 1.
Simplificando, temos: cos²(2(x³ + 7x² + x + 1))) = cos²(2(x³ + 5x² + 2))).
Utilizando a identidade trigonométrica, temos: cos²(x) = 1 - sen²(x).
Substituindo, temos: 1 - sen²(2(x³ + 7x² + x + 1))) = 1 - sen²(2(x³ + 5x² + 2))).
Simplificando, temos: sen²(2(x³ + 7x² + x + 1))) = sen²(2(x³ + 5x² + 2))).
Utilizando a identidade trigonométrica, temos: sen(2x) = 2sen(x)cos(x).
Substituindo, temos: 4sen²(x³ + 7x² + x + 1))cos²(x³ + 7x² + x + 1))) = 4sen²(x³ + 5x² + 2))cos²(x³ + 5x² + 2))).
Como sen²(x) e cos²(x) são sempre positivos, temos que sen²(x³ + 7x² + x + 1)) = sen²(x³ + 5x² + 2)).
Logo, x³ + 7x² + x + 1 = x³ + 5x² + 2.
Simplificando, temos: 2x² - x - 1 = 0.
Resolvendo a equação do segundo grau, temos: x = (-(-1) ± √((-1)² - 4.2.(-1)))/(2.2) = (1 ± √3)/4.
Logo, o conjunto solução da equação é {(1 + √3)/4, (1 - √3)/4}.
a) S = {-1/2, 1/2}
b) S = {0, 1}
c) S = {1/2, 3/2}
d) S = {1/4, 3/4}
e) S = {-1/4, 1/4}