Considere ⊗ a operação sobre R definida por x ⊗ y = x + y + xy. A respeito desta operação, é correto afirmar: a operação ⊗ sobre R não é comutativa, não é associativa e o elemento neutro é o zero. a operação ⊗ sobre R é comutativa, associativa e não possui elemento neutro. a operação ⊗ sobre R é apenas comutativa. a operação ⊗ sobre R é comutativa, associativa e o elemento neutro é o zero. a operação ⊗ sobre R é apenas associativa.

Question

Considere ⊗ a operação sobre R definida por x ⊗ y = x + y + xy. A respeito desta operação, é correto afirmar:   a operação ⊗ sobre R não é comutati...

Ed · Answer

Vamos analisar a operação $ x \otimes y = x + y + xy $ passo a passo:

1. **Comutatividade**: Para verificar se a operação é comutativa, precisamos checar se $ x \otimes y = y \otimes x $.
   $$
   x \otimes y = x + y + xy
   $$
   $$
   y \otimes x = y + x + yx
   $$
   Como $ xy = yx $, temos $ x \otimes y = y \otimes x $. Portanto, a operação é **comutativa**.

2. **Associatividade**: Para verificar se a operação é associativa, precisamos checar se $ (x \otimes y) \otimes z = x \otimes (y \otimes z) $.
   $$
   (x \otimes y) \otimes z = (x + y + xy) \otimes z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z
   $$
   $$
   = x + y + xy + z + xz + yz + xyz
   $$
   Agora, vamos calcular $ x \otimes (y \otimes z) $:
   $$
   y \otimes z = y + z + yz
   $$
   $$
   x \otimes (y \otimes z) = x \otimes (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz)
   $$
   $$
   = x + y + z + yz + xy + xz + xyz
   $$
   Como os resultados são iguais, a operação é **associativa**.

3. **Elemento neutro**: Para encontrar o elemento neutro $ e $, precisamos que $ x \otimes e = x $:
   $$
   x \otimes e = x + e + xe = x
   $$
   Isso implica que $ e + xe = 0 $. Para que isso seja verdade para todo $ x $, $ e $ deve ser $ 0 $. Portanto, o elemento neutro é **zero**.

Com isso, podemos concluir que a operação $ \otimes $ é **comutativa**, **associativa** e o **elemento neutro é zero**.

A resposta correta é: **a operação ⊗ sobre R é comutativa, associativa e o elemento neutro é o zero.**

Ed · Answer

A resposta correta é: "a operação ⊗ sobre R é comutativa, associativa e o elemento neutro é o zero."

Explicação: 
- Comutativa: x ⊗ y = y ⊗ x, pois x + y + xy = y + x + yx.
- Associativa: (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z), pois (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz).
- Elemento neutro: existe um elemento neutro e é o zero, pois x + 0 + 0x = x para todo x em R.

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