Determine quais os valores de K para que o vetor 3 = (2; -2) seja combinação linear de u = ( 1; k) e de w = (3;1)

Para que o vetor 3 seja uma combinação linear de u e w, é necessário que existam constantes a e b tais que: 3 = a * u + b * w Substituindo os valores dos vetores, temos: (2; -2) = a * (1; k) + b * (3; 1) Isso nos dá o seguinte sistema de equações: a * 1 + b * 3 = 2 a * k + b * 1 = -2 Para que o vetor 3 seja uma combinação linear de u e w, esse sistema deve ter solução. Podemos resolvê-lo usando eliminação de Gauss: 1a + 3b = 2 k a + 1b = -2 Multiplicando a segunda equação por -3 e somando com a primeira, obtemos: 1a + 3b = 2 -3k a - 3b = 6 ------------- (1-3k) a = 8 Portanto, a = 8 / (1 - 3k). Substituindo esse valor na primeira equação, temos: 8 / (1 - 3k) + 3b = 2 Isolando b, temos: b = (2 - 8 / (1 - 3k)) / 3 Portanto, para que o vetor 3 seja uma combinação linear de u e w, os valores de k devem satisfazer a condição: k ≠ 1/3