Integrais triplas Nas questões abaixo, vamos exercitar os conceitos aprendidos nesta unidade. 1ª questão Calcular a integral tripla fff( y+x ao ...

1ª questão: Para calcular a integral tripla fff( y+x ao quadrado)zdV sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 1 menor igual a x menor igual a 2, 0 menor igual a y menor igual a 1, -3 menor igual a z menor igual a 5, podemos utilizar a propriedade da linearidade da integral tripla e calcular cada integral simples separadamente. Assim, temos: fff( y+x ao quadrado)zdV = fff(yz + x²z) dV = fff(yz dV) + fff(x²z dV) A primeira integral é calculada em relação a x e z, enquanto a segunda é calculada em relação a y e z. Para a primeira integral, temos: fff(yz dV) = ∫ de -3 até 5 ∫ de 0 até 1 ∫ de 1 até 2 yz dxdydz = ∫ de -3 até 5 ∫ de 0 até 1 [(y/2)(2²-1²)]dydz = ∫ de -3 até 5 ∫ de 0 até 1 (3/2)y dydz = ∫ de -3 até 5 (3/4) dz = (3/4)(5-(-3)) = 6 Para a segunda integral, temos: fff(x²z dV) = ∫ de -3 até 5 ∫ de 0 até 1 ∫ de 1 até 2 x²z dxdydz = ∫ de -3 até 5 ∫ de 0 até 1 [(1/3)(2³-1³)]zdydz = ∫ de -3 até 5 (7/9)z dz = (7/9)(5²-(-3)²) = 112/9 Portanto, a integral tripla fff( y+x ao quadrado)zdV sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 1 menor igual a x menor igual a 2, 0 menor igual a y menor igual a 1, -3 menor igual a z menor igual a 5 é igual a 6 + 112/9 = 70/3. 2ª questão: Para calcular a integral fff(x ao quadrado mais y ao quadrado) dV em que T é a região de integração interior ao cilindro (x ao quadrado mais y ao quadrado igual a 1) e à esfera x ao quadrado mais y ao quadrado mais z ao quadrado igual a 1, podemos utilizar coordenadas cilíndricas para simplificar a resolução. Assim, temos: fff(x ao quadrado mais y ao quadrado) dV = ∫ de 0 até 2π ∫ de 0 até 1 ∫ de -√(1-x²) até √(1-x²) (r²) r dz dr dθ A região de integração é definida pelo cilindro x ao quadrado mais y ao quadrado igual a 1 e a esfera x ao quadrado mais y ao quadrado mais z ao quadrado igual a 1. Portanto, temos que 0 menor igual a r menor igual a 1, 0 menor igual a θ menor igual a 2π e -√(1-x²) menor igual a z menor igual a √(1-x²). Assim, podemos calcular a integral da seguinte forma: ∫ de 0 até 2π ∫ de 0 até 1 ∫ de -√(1-x²) até √(1-x²) (r²) r dz dr dθ = ∫ de 0 até 2π ∫ de 0 até 1 ∫ de -√(1-x²) até √(1-x²) (r³) dz dr dθ = ∫ de 0 até 2π ∫ de 0 até 1 [(2/3)(1-x²)^(3/2)] r³ dr dθ = ∫ de 0 até 2π [(1/2)(1/5)(1-0)] dθ = π/5 Portanto, a integral fff(x ao quadrado mais y ao quadrado) dV em que T é a região de integração interior ao cilindro (x ao quadrado mais y ao quadrado igual a 1) e à esfera x ao quadrado mais y ao quadrado mais z ao quadrado igual a 1 é igual a π/5.