Ache a solução do problema de valor inicial 4y′′ + 4y′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 2. Resp: y = e^(-x/2) + (5/2)xe^(-x/2).

O problema de valor inicial 4y′′ + 4y′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 2 pode ser resolvido usando o método da equação característica. Primeiro, encontramos as raízes da equação característica 4r^2 + 4r + 1 = 0, que são r = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a = (-1 ± i) / 2. Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea é yh(x) = c1e^(-x/2)cos(x/2) + c2e^(-x/2)sin(x/2). Em seguida, encontramos uma solução particular yp(x) da equação diferencial não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. Suponha que yp(x) = Ax + B. Então, yp'(x) = A e yp''(x) = 0. Substituindo yp(x), yp'(x) e yp''(x) na equação diferencial não homogênea, obtemos 4A + 4A + Ax + B = 0, ou seja, (2A + B)x = 0. Portanto, A = -B/2. Substituindo A em yp(x), obtemos yp(x) = -Bx/2. Substituindo yp(x) e suas derivadas na equação diferencial não homogênea, obtemos 2B = 1, ou seja, B = 1/2. Portanto, yp(x) = -x/4. A solução geral da equação diferencial não homogênea é y(x) = yh(x) + yp(x) = c1e^(-x/2)cos(x/2) + c2e^(-x/2)sin(x/2) - x/4. Usando as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2, obtemos c1 = 1 e c2 = 9/4. Portanto, a solução do problema de valor inicial é y(x) = e^(-x/2) + (5/2)x e^(-x/2).