Resolve o problema de valor inicial y′′ − 4y′ + 4y = 8e2x, y(0) = 1, y′(0) = 5

Para resolver esse problema de valor inicial, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a equação característica: r^2 - 4r + 4 = 0 2. Resolver a equação característica: r = 2 (raiz dupla) 3. Escrever a solução homogênea: yh(x) = (c1 + c2*x)*e^(2x) 4. Encontrar uma solução particular yp(x) para a equação não homogênea. Podemos tentar yp(x) = Ae^(2x), onde A é uma constante a ser determinada. 5. Derivar yp(x) duas vezes e substituir na equação original para encontrar o valor de A: A = 2 6. Escrever a solução geral: y(x) = yh(x) + yp(x) = (c1 + c2*x)*e^(2x) + 2e^(2x) 7. Usar as condições iniciais para encontrar os valores de c1 e c2: y(0) = 1 e y'(0) = 5 8. Encontrar c1 e c2: c1 = -1 e c2 = 3 9. Escrever a solução final: y(x) = (3x - 1)*e^(2x) + 2e^(2x) Portanto, a solução do problema de valor inicial é y(x) = (3x - 1)*e^(2x) + 2e^(2x), onde y(0) = 1 e y'(0) = 5.