Questão 2. (2.0 pontos) Seja R a região limitada pelas curvas y = x2 e y = x+ 6. (a) (0.7) Esboce R. (b) (1.3) Calcule a área de R. Solução...

(a) O gráfico das funções y = x² e y = x + 6 se interceptam nos pontos de abscissas x = -2 e x = 3. Para esboçar a região R, basta desenhar as curvas e a região limitada por elas. A região R é delimitada pela curva y = x² (parábola voltada para cima) e pela reta y = x + 6. A interseção das curvas ocorre nos pontos (-2, 4) e (3, 9). A região R é a área entre essas curvas e entre as retas verticais x = -2 e x = 3. (b) Para calcular a área de R, é necessário integrar a função f(x) = (x + 6) - x² no intervalo [-2, 3]. A(R) = ∫[3, -2] [(x + 6) - x²] dx A(R) = [(x²/2) + 6x - (x³/3)]|[3, -2] A(R) = [(3²/2) + 6(3) - (3³/3)] - [(-2²/2) + 6(-2) - (-2³/3)] A(R) = (9/2 + 18 - 9) - (2 + (-12) - (-8/3)) A(R) = 9/2 + 18 - 9 + 2 + 12 + 8/3 A(R) = 125/6 Portanto, a área da região R é 125/6.