Questão 3 [1,5 ponto] Seja W um sólido dentro do cilindro x2 + y2 = 3, entre o cone z = 2√3−√x2 + y2 e o plano z = 0. Ache a sua massa, se a dens...

Para calcular a massa do sólido W, precisamos integrar a densidade δ(x, y, z) = 1/2z^11 sobre o volume do sólido. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração em coordenadas cilíndricas. Sabemos que o sólido está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 3 e entre o cone z = 2√3 - √(x^2 + y^2) e o plano z = 0. A partir da equação do cilindro, podemos ver que o raio do cilindro é √3. A equação do cone pode ser reescrita como z^2 = 12 - x^2 - y^2. Substituindo x^2 + y^2 por r^2, temos z^2 = 12 - r^2. Isolando z, temos z = ±√(12 - r^2). Como o sólido está entre o cone e o plano z = 0, temos que z varia de 0 a √(12 - r^2). Assim, os limites de integração são: 0 ≤ z ≤ √(12 - r^2) 0 ≤ r ≤ √3 0 ≤ θ ≤ 2π Agora podemos integrar a densidade δ(x, y, z) em coordenadas cilíndricas: M = 1/2 ∫∫∫W z dV M = 1/2 ∫₀²π ∫₀^√3 ∫₀^√(12-r²) z*r dz dr dθ M = 1/2 ∫₀²π ∫₀^√3 [1/2*z²*r]₀^√(12-r²) dr dθ M = 1/4 ∫₀²π ∫₀^√3 (12-r²)^(3/2) - 12r² dr dθ M = 1/4 ∫₀²π [-4/5*(12-r²)^(5/2) - 4/3*r^3]₀^√3 dθ M = 1/4 ∫₀²π (-4/5*(12-3^(3/2))^(5/2) + 4/5*12^(5/2) - 4/3*3^(3/2)) dθ M = 1/4 (-4/5*(12-3^(3/2))^(5/2) + 4/5*12^(5/2) - 4/3*3^(3/2)) * 2π M = π/5 (12^(5/2) - (12-3^(3/2))^(5/2) - 4*3^(3/2)) Portanto, a massa do sólido W é π/5 (12^(5/2) - (12-3^(3/2))^(5/2) - 4*3^(3/2)).